두 점화식 수열

주어진 식에 의해 $a _{1} = 1$, $a _{2} = 1$, $a _{3} = 0$, $a _{4} = - 1$, $a _{5} = 1$, $a _{6} = 0$, $a _{7} = - 1$, … 이므로 $a _{n}$은 $n \geq 2$에서 3주기 수열임을 알 수 있다. $a _{3 n} = 0 ( n \geq 0 )$, $a _{3 n + 1} = - 1 ( n \geq 1 )$, $a _{3 n + 2} = 1 ( n \geq 0 )$ 그러므로 $a _{3 n} + ( 3 n ) = 3 n ( n \geq 0 )$ $a _{3 n + 1} + ( 3 n + 1 ) = 3 n ( n \geq 1 )$ $a _{3 n + 2} + ( 3 n + 2 ) = 3 n + 3 ( n \geq 0 )$ 따라서 $b _{1} = k$ $b _{2} = a _{1} + 1 - b _{1} = 2 - k$ $b _{3} = a _{2} + 2 - b _{2} = k + 1$ $b _{4} = a _{3} + 3 - b _{3} = 2 - k$ $b _{5} = a _{4} + 4 - b _{4} = k + 1$ $b _{6} = a _{5} + 5 - b _{5} = 5 - k$ ⁝ $b _{20} = a _{19} + 19 - b _{19} = 11 - k$ $11 - k = 14$ $\therefore k = - 3$