두 점 사이 거리의 증감과 움직인 거리

시각 $t = 0$일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 시각 $t$$\left( t \geq 0 \right)$에서의 위치를 각각 $x _{1} \left( t \right)$, $x _{2} \left( t \right)$라 하면 $x _{1} \left( t \right)$$\displaystyle = \int _{0} ^{t} {\left( t ^{2} - 6 t + 5 \right)} dt$$\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{1}{3} t ^{3} - 3 t ^{2} + 5 t \end{array} \right] _{0} ^{t}$$\displaystyle = \frac{1}{3} t ^{3} - 3 t ^{2} + 5 t$ $x _{2} \left( t \right)$$\displaystyle = \int _{0} ^{t} {\left( 2 t - 7 \right)} dt$$\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} t ^{2} - 7 t \end{array} \right] _{0} ^{t}$$= t ^{2} - 7 t$ 시각 $t$에서의 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ 사이의 거리를 $f ( t )$라 하면 $f ( t )$$\displaystyle = \left| \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{1}{3} t ^{3} - 3 t ^{2} + 5 t - \left( t ^{2} - 7 t \right) \end{array} \right|$$\displaystyle = \left| \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{1}{3} t ^{3} - 4 t ^{2} + 12 t \end{array} \right|$ 이때 $\displaystyle g ( t ) = \frac{1}{3} t ^{3} - 4 t ^{2} + 12 t$라 하면 $g' ( t ) = t ^{2} - 8 t + 12 = \left( t - 2 \right) \left( t - 6 \right)$ $g' ( t ) = 0$에서 $t = 2$ 또는 $t = 6$ 함수 $g ( t )$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 $t \geq 0$에서 $y = g \left( t \right)$, 즉 $y = f ( t )$의 그래프는 다음 그림과 같다.

함수 $f \left( t \right)$가 구간 $[ 0 , 2 ]$에서 증가하고, 구간 $[ 2 , 6 ]$에서 감소하고, 구간 $[ 6 , \infty )$에서 증가하므로 $a = 2$, $b = 6$ 이때 시각 $t = 2$에서 $t = 6$까지 점 $\mathrm{Q}$가 움직인 거리를 $l$이라 하면 $l$$\displaystyle = \int _{2} ^{6} {\left| 2 t - 7 \right|} dt$ $\displaystyle = \int _{2} ^{\frac{7}{2}} {\left( - 2 t + 7 \right)} dt + \int _{\frac{7}{2}} ^{6} {\left( 2 t - 7 \right)} dt$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} - t ^{2} + 7 t \end{array} \right] _{2} ^{\frac{7}{2}} + \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} t ^{2} - 7 t \end{array} \right] _{\frac{7}{2}} ^{6}$ $\displaystyle = \frac{17}{2}$