두 점 사이 거리 최소

시각 $t \left( t \geq 0 \right)$에서의 두 점 ${\mathrm{P}}$, ${\mathrm{Q}}$ 사이의 거리는 $\displaystyle \left| x _{1} - x _{2} \right| = \left| t ^{3} - \frac{15}{2} t ^{2} + 12 t + 10 \right|$ $\displaystyle f \left( t \right) = t ^{3} - \frac{15}{2} t ^{2} + 12 t + 10 \left( t \geq 0 \right)$이라 하면 $f' \left( t \right) = 3 t ^{2} - 15 t + 12 = 3 \left( t - 1 \right) \left( t - 4 \right)$ 함수 $f \left( t \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$t \geq 0$에서 함수 $f \left( t \right)$의 최솟값이 $f \left( 4 \right) = 2$이므로 $f \left( t \right) > 0$ $\displaystyle \left| x _{1} - x _{2} \right| = t ^{3} - \frac{15}{2} t ^{2} + 12 t + 10$이고 두 점 ${\mathrm{P}}$, ${\mathrm{Q}}$ 사이의 거리는 $t = 4$에서 최소이다. 시각 $t \left( t \geq 0 \right)$에서의 점 ${\mathrm{P}}$의 속도와 가속도를 각각 $v \left( t \right)$, $a \left( t \right)$라 하면 $\displaystyle v \left( t \right) = \frac{dx _{1}}{dt} = 3 t ^{2} - 10 t + 10$ $a \left( t \right) = v' \left( t \right) = 6 t - 10$ 따라서 $t = 4$에서의 점 ${\mathrm{P}}$의 가속도는 $a \left( 4 \right) = 6 \times 4 - 10 = 14$