두 점 사이 거리 최댓값

시각 $t = 0$일 때 점 $\mathrm{A} \left( 9 \right)$와 점 $\mathrm{B} \left( 1 \right)$에서 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 시각 $t$에서의 위치를 각각 $x _{1}$, $x _{2}$라 하면 $x _{1}$$\displaystyle = 9 + \int _{0} ^{t} {} \left( 6 t ^{2} - 18 t + 7 \right) dt$$= 2 t ^{3} - 9 t ^{2} + 7 t + 9$ $x _{2}$$\displaystyle = 1 + \int _{0} ^{t} {} \left( 2 t + 1 \right) dt$$= t ^{2} + t + 1$ 시각 $t$에서의 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ 사이의 거리가 $f \left( t \right)$이므로 $f \left( t \right) = \left| x _{1} - x _{2} \right|$$= \left| 2 t ^{3} - 10 t ^{2} + 6 t + 8 \right|$ 이때 $g \left( t \right) = 2 t ^{3} - 10 t ^{2} + 6 t + 8$이라 하면 $g' \left( t \right) = 6 t ^{2} - 20 t + 6 = 2 \left( t - 3 \right) \left( 3 t - 1 \right)$ $g' \left( t \right) = 0$에서 $\displaystyle t = \frac{1}{3}$ 또는 $t = 3$ 함수 $g \left( t \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 두 함수 $g \left( t \right)$와 $f \left( t \right)$의 그래프는 다음 그림과 같으므로 닫힌구간 $\left[ 1 , 3 \right]$에서 함수 $f \left( t \right)$의 최댓값은 $t = 3$일 때 $10$이다.