두 점 사이 거리 최대

[출제의도] 정적분을 이용하여 두 점 사이의 거리의 최댓값을 구한다. $f ( t ) = 2 t ^{2} - 8 t$, $g ( t ) = t ^{3} - 10 t ^{2} + 24 t$라 하자. $x$초 후의 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ 사이의 거리는 다음과 같이 나타낼 수 있다. $\displaystyle \left| \int _{0} ^{x} {} f ( t ) dt - \int _{0} ^{x} {} g ( t ) dt \right|$$\displaystyle = \left| \int _{0} ^{x} {} \left\{ f ( t ) - g ( t ) \right\} dt \right|$ $\displaystyle h ( x ) = \int _{0} ^{x} {} \left\{ f ( t ) - g ( t ) \right\} dt$라 하자. $h' ( x )$$= f ( x ) - g ( x )$ $= \left( 2 x ^{2} - 8 x \right) - \left( x ^{3} - 10 x ^{2} + 24 x \right)$ $= - x ^{3} + 12 x ^{2} - 32 x$ $= - x ( x - 4 ) ( x - 8 )$ $h' ( x ) = 0$에서 $x = 0$, $4$, $8$ $h ( x )$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle h ( x ) = \int _{0} ^{x} {} \left\{ \left( 2 t ^{2} - 8 t \right) - \left( t ^{3} - 10 t ^{2} + 24 t \right) \right\} dt$ $\displaystyle = \int _{0} ^{x} {} \left( - t ^{3} + 12 t ^{2} - 32 t \right) dt$ $\displaystyle = - \frac{1}{4} x ^{4} + 4 x ^{3} - 16 x ^{2}$ $x = 4$일 때 $\left| h ( x ) \right|$$\displaystyle = \left[ \frac{1}{4} t ^{4} - 4 t ^{3} + 16 t ^{2} \right] _{0} ^{4}$$= 64$ $x = 8$일 때 $\left| h ( x ) \right|$$\displaystyle = \left[ \frac{1}{4} t ^{4} - 4 t ^{3} + 16 t ^{2} \right] _{0} ^{8}$$= 0$ 따라서 $\left| h ( x ) \right|$는 $x = 4$에서 최댓값 $64$를 갖는다.