두 이등분선의 교점이 나누는 비

삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\angle \mathrm{A}$의 이등분선 정리에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}} : \overline{\mathrm{DC}} = \overline{\mathrm{AB}} : \overline{\mathrm{AC}} = 12 : 15 = 4 : 5$ $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}} = 18 \times \frac{4}{9} = 8$ 삼각형 $\mathrm{ABD}$에서 선분 $\mathrm{BI}$는 $\angle \mathrm{B}$의 이등분선이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AI}} : \overline{\mathrm{ID}} = \overline{\mathrm{BA}} : \overline{\mathrm{BD}} = 12 : 8 = 3 : 2$ (검산: $\angle \mathrm{B}$의 이등분선이 변 $\mathrm{CA}$와 만나는 점을 $\mathrm{E}$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AE}} = 15 \times \frac{12}{12 + 18} = 6$이고, 삼각형 $\mathrm{ABE}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BI}} : \overline{\mathrm{IE}} = \overline{\mathrm{AB}} : \overline{\mathrm{AE}} = 2 : 1$로 두 결과가 모두 내심의 성질과 맞는다.) 따라서 $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{AI}}}{\overline{\mathrm{ID}}} = \frac{3}{2}$이므로 답은 ③이다.