두 이차함수 실근 개수

[출제의도] 이차함수의 그래프와 이차방정식의 관계 이해하기 (가)에 의해 이차함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 아래로 볼록하고 이차함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프는 위로 볼록하다. 두 이차함수 $f \left( x \right)$, $g \left( x \right)$의 대칭축은 각각 $x = 0$으로 같고 (나)에 의해 $f \left( 0 \right)$이 정수이므로 $g \left( 0 \right)$도 정수이다. (ⅰ) $0 \leq p < 1$인 경우 $k = f \left( 0 \right) + 1$, $f \left( 0 \right) + 2$, $f \left( 0 \right) + 3$일 때, 두 방정식 $f \left( x \right) + p = k$, $g \left( x \right) - p = k$의 서로 다른 실근의 개수가 각각 $2$로 같고 $k \leq f \left( 0 \right)$, $k \geq f \left( 0 \right) + 4$일 때, 두 방정식 $f \left( x \right) + p = k$, $g \left( x \right) - p = k$의 서로 다른 실근의 개수는 다르다.

$y = f \left( x \right) + p$ $k = f \left( 0 \right) + 4$ $k = f \left( 0 \right) + 2$ $k = f \left( 0 \right) + 3$ $k = f \left( 0 \right)$ $k = f \left( 0 \right) + 1$ $y = g \left( x \right) - p$

(ⅱ) $1 \leq p < 2$인 경우 $k = f \left( 0 \right) + 2$일 때, 두 방정식 $f \left( x \right) + p = k$, $g \left( x \right) - p = k$의 서로 다른 실근의 개수가 각각 $2$로 같고 $k \leq f \left( 0 \right) + 1$, $k \geq f \left( 0 \right) + 3$일 때, 두 방정식 $f \left( x \right) + p = k$, $g \left( x \right) - p = k$의 서로 다른 실근의 개수는 다르다.

$y = f \left( x \right) + p$ $k = f \left( 0 \right) + 4$ $k = f \left( 0 \right) + 2$ $k = f \left( 0 \right) + 3$ $k = f \left( 0 \right)$ $k = f \left( 0 \right) + 1$ $y = g \left( x \right) - p$

(ⅲ) $p = 2$인 경우 $k = f \left( 0 \right) + 2$일 때, 두 방정식 $f \left( x \right) + p = k$, $g \left( x \right) - p = k$의 서로 다른 실근의 개수가 각각 $1$로 같고 $k \ne f \left( 0 \right) + 2$일 때, 두 방정식 $f \left( x \right) + p = k$, $g \left( x \right) - p = k$의 서로 다른 실근의 개수는 다르다.

$y = f \left( x \right) + p$ $k = f \left( 0 \right) + 4$ $k = f \left( 0 \right) + 2$ $k = f \left( 0 \right) + 3$ $k = f \left( 0 \right)$ $k = f \left( 0 \right) + 1$ $y = g \left( x \right) - p$

(ⅳ) $2 < p \leq 3$인 경우 $k = f \left( 0 \right) + 2$일 때, 두 방정식 $f \left( x \right) + p = k$, $g \left( x \right) - p = k$의 서로 다른 실근의 개수가 각각 $0$으로 같고 $k \ne f \left( 0 \right) + 2$일 때, 두 방정식 $f \left( x \right) + p = k$, $g \left( x \right) - p = k$의 서로 다른 실근의 개수는 다르다.

$y = f \left( x \right) + p$ $k = f \left( 0 \right) + 4$ $k = f \left( 0 \right) + 2$ $k = f \left( 0 \right) + 3$ $k = f \left( 0 \right)$ $k = f \left( 0 \right) + 1$ $y = g \left( x \right) - p$

(ⅴ) $p > 3$인 경우 모든 실수 $x$에 대하여 $g \left( x \right) - p < f \left( x \right) + p$이므로 $g \left( 0 \right) - p < k < f \left( 0 \right) + p$인 정수 $k$에 대하여 두 방정식 $f \left( x \right) + p = k$, $g \left( x \right) - p = k$의 서로 다른 실근의 개수가 각각 같다. 이때 정수 $k$의 개수는 $3$이상이다.

$y = f \left( x \right) + p$ $k = f \left( 0 \right) + 4$ $k = f \left( 0 \right) + 2$ $k = f \left( 0 \right) + 3$ $k = f \left( 0 \right)$ $k = f \left( 0 \right) + 1$ $y = g \left( x \right) - p$

(ⅵ) $p < 0$인 경우 $g \left( 0 \right) - p - \left\{ f \left( 0 \right) + p \right\} > 4$이므로 $f \left( 0 \right) + p < k < g \left( 0 \right) - p$인 정수 $k$에 대하여 두 방정식 $f \left( x \right) + p = k$, $g \left( x \right) - p = k$의 서로 다른 실근의 개수가 같다. 이때 정수 $k$의 개수는 $5$이상이다.

$y = f \left( x \right) + p$ $k = f \left( 0 \right) + 4$ $k = f \left( 0 \right) + 2$ $k = f \left( 0 \right) + 3$ $k = f \left( 0 \right)$ $k = f \left( 0 \right) + 1$ $y = g \left( x \right) - p$

(ⅰ) ~ (ⅵ)에 의해 두 방정식 $f \left( x \right) + p = k$, $g \left( x \right) - p = k$의 서로 다른 실근의 개수가 같게 되도록 하는 정수 $k$의 개수가 $1$일 때, 모든 실수 $p$의 범위는 $1 \leq p \leq 3$이므로 실수 $p$의 최솟값은 $1$, 최댓값은 $3$이다. 따라서 $m + 10 M = 1 + 30 = 31$이다.