두 이차함수 보기

[출제의도] 이차방정식과 이차함수의 관계 추론하기 조건 (가)에 의하여 $f \left( x \right) g \left( x \right) = \left( x + 2 \right) \left( x - 2 \right) \left( x + 3 \right) \left( x - 3 \right)$이고 조건 (나)에 의하여 $f \left( x \right) = 0$의 두 실근이 $\alpha$, $\alpha + 5$ 즉, $f \left( x \right) = 0$의 두 실근의 차가 $5$이다. 따라서 $\displaystyle {\begin{cases} f \left( x \right) = a \left( x - 2 \right) \left( x + 3 \right) \\ g \left( x \right) = \frac{1}{a} \left( x + 2 \right) \left( x - 3 \right) \end{cases}}$이거나 $\displaystyle {\begin{cases} f \left( x \right) = a \left( x + 2 \right) \left( x - 3 \right) \\ g \left( x \right) = \frac{1}{a} \left( x - 2 \right) \left( x + 3 \right) \end{cases}}$이다. (단, $a \ne 0$는 상수) ㄱ. $f \left( 2 \right) = 0$이면 $\displaystyle {\begin{cases} f \left( x \right) = a \left( x - 2 \right) \left( x + 3 \right) \\ g \left( x \right) = \frac{1}{a} \left( x + 2 \right) \left( x - 3 \right) \end{cases}}$이므로 $g \left( 3 \right) = 0$이다. (참) ㄴ. $g \left( 2 \right) > 0$이므로 $\displaystyle {\begin{cases} f \left( x \right) = \mathit{a} \left( x - 2 \right) \left( x + 3 \right) \\ g \left( x \right) = \frac{\mathit{1}}{a} \left( x + 2 \right) \left( x - 3 \right) \end{cases}}$이고, $a < 0$인 상수이다. $\displaystyle f \left( \frac{5}{2} \right) = \frac{11}{4} a < 0$, $\displaystyle g \left( \frac{5}{2} \right) = \mathit{-} \frac{9}{4 a} > 0$ 따라서 $\displaystyle f \left( \frac{5}{2} \right) < 0 < g \left( \frac{5}{2} \right)$이다. (참) ㄷ. (ⅰ) $\displaystyle {\begin{cases} f \left( x \right) = a \left( x - 2 \right) \left( x + 3 \right) \\ g \left( x \right) = \frac{1}{a} \left( x + 2 \right) \left( x - 3 \right) \end{cases}}$(단, $a \ne 0$)인 경우 방정식 $\displaystyle f \left( x \right) - g \left( x \right) = \left( a - \frac{1}{a} \right) x ^{2} + \left( a + \frac{1}{a} \right) x - 6 \left( a - \frac{1}{a} \right) = 0$이 서로 다른 두 정수 근을 가지므로 이차방정식이다. 그러므로 $\displaystyle a - \frac{1}{a} \ne 0$, $a \ne \mathit{\pm} 1$이다. $f \left( x \right) - g \left( x \right) = 0$의 양변에 $a$를 곱하면 $\left( a ^{2} - 1 \right) x ^{2} + \left( a ^{2} + 1 \right) x - 6 \left( a ^{2} - 1 \right) = 0$이다. 근과 계수의 관계에 의해 $mn = \mathit{-} 6$이고, $m$, $n$이 정수이므로 $\left( m , n \right) = \left( - 6 , 1 \right)$, $\left( 1 , - 6 \right)$, $\left( - 3 , 2 \right)$, $\left( 2 , - 3 \right)$, $\left( - 2 , 3 \right)$, $\left( 3 , - 2 \right)$, $\left( - 1 , 6 \right)$, $\left( 6 , - 1 \right)$ 로 $8$가지 경우이다. ① $\left( m , n \right) = \left( - 6 , 1 \right)$, $\left( 1 , - 6 \right)$인 경우 $\displaystyle m + n = \frac{- a ^{2} - 1}{a ^{2} - 1} = \mathit{-} 5$, $- a ^{2} - 1 = \mathit{-} 5 a ^{2} + 5$ $\displaystyle a = \mathit{\pm} \sqrt{\frac{3}{2}}$이다. $x$에 대한 방정식 $f \left( x \right) - g \left( x \right) = 0$은 $x = \mathit{-} 6$, $x = 1$을 두 정수 근으로 갖는다. ② $\left( m , n \right) = \left( - 3 , 2 \right)$, $\left( 2 , - 3 \right)$인 경우 $\displaystyle m + n = \frac{- a ^{2} - 1}{a ^{2} - 1} = \mathit{-} 1$, $- a ^{2} - 1 = \mathit{-} a ^{2} + 1$ 만족하는 $a$의 값은 존재하지 않는다. $x$에 대한 방정식 $f \left( x \right) - g \left( x \right) = 0$은 $x = \mathit{-} 3$, $x = 2$를 두 정수 근으로 가질 수 없다. ③ $\left( m , n \right) = \left( - 2 , 3 \right)$, $\left( 3 , - 2 \right)$인 경우 $\displaystyle m + n = \frac{- a ^{2} - 1}{a ^{2} - 1} = 1$, $- a ^{2} - 1 = a ^{2} - 1$ $a = 0$이다. $a \ne 0$이므로 $x$에 대한 방정식 $f \left( x \right) - g \left( x \right) = 0$은 $x = \mathit{-} 2$, $x = 3$을 두 정수 근으로 가질 수 없다. ④ $\left( m , n \right) = \left( - 1 , 6 \right)$, $\left( 6 , - 1 \right)$인 경우 $\displaystyle m + n = \frac{- a ^{2} - 1}{a ^{2} - 1} = 5$, $- a ^{2} - 1 = \mathit{5} a ^{2} - 5$ $\displaystyle a = \mathit{\pm} \sqrt{\frac{2}{3}}$이다. $x$에 대한 방정식 $f \left( x \right) - g \left( x \right) = 0$은 $x = \mathit{-} 1$, $x = 6$을 두 정수 근으로 갖는다. (ⅱ) $\displaystyle {\begin{cases} f \left( x \right) = a \left( x + 2 \right) \left( x - 3 \right) \\ g \left( x \right) = \frac{1}{a} \left( x - 2 \right) \left( x + 3 \right) \end{cases}}$(단, $a \ne 0$)인 경우 $\displaystyle f \left( x \right) - g \left( x \right) = \left( a - \frac{1}{a} \right) x ^{2} - \left( a + \frac{1}{a} \right) x - 6 \left( a - \frac{1}{a} \right)$에서 (ⅰ)과 같은 방법으로 하면 된다. 따라서 $x$에 대한 방정식 $f \left( x \right) - g \left( x \right) = 0$이 서로 다른 두 정수 $m$, $n$을 근으로 가지면 $\left| m + n \right| = 5$이다. (참)