두 이차함수 보기

[출제의도] 이차방정식과 이차함수의 관계 추론하기 ㄱ. $a = 1$이므로 $f ( x ) = \left( x - 1 {) ^{2} - 1 = x ^{2} - 2 x} \right.$, $g ( x ) = \mathit{-} {\left( x - 2 {) ^{2} + 4 + b = \mathit{-} x ^{2} + 4 x + b} \right.}$이다. (가)에서 $x ^{2} - 2 x = \mathit{-} x ^{2} + 4 x + b$, $2 x ^{2} - 6 x - b = 0$ 이다. (나)에서 $\beta = \alpha + 2$이므로 이차방정식 $2 x ^{2} - 6 x - b = 0$은 두 근 $\alpha$, $\alpha + 2$를 갖는다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 $\alpha + \left( \alpha + 2 {) = 3} \right.$, $\displaystyle \alpha {\left( \alpha + 2 {) = \mathit{-} \frac{b}{2}} \right.}$이다. $\alpha + {\left( \alpha + 2 {) = 3} \right.}$에서 $\displaystyle \alpha = \frac{1}{2}$이고 $\displaystyle \alpha {\left( \alpha + 2 {) = \mathit{-} \frac{b}{2}} \right.}$에서 $\displaystyle - \frac{b}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{5}{2}$이다. 따라서 $\displaystyle b = \mathit{-} \frac{5}{2}$이다. (참) ㄴ. $f ( x ) = \left( x - a {) ^{2} - a ^{2}} \right.$이므로 $f ( x )$의 최솟값은 $f \left( a \right) = \mathit{-} a ^{2}$이다. $g \left( x \right) = \mathit{-} \left( x - 2 a \right) ^{2} + 4 a ^{2} + b$이므로 $g \left( x \right)$의 최댓값은 $g {\left( 2 a {) = 4 a ^{2} + b} \right.}$이다. (가)에 의해 $f {\left( \alpha {) = g {\left( \alpha {)} \right.}} \right.}$, $f {\left( \beta {) = g {\left( \beta {)} \right.}} \right.}$이므로 두 이차함수 $\left. f \left( x \right) \right.$, $g \left( x \right)$의 그래프는 서로 다른 두 점에서 만난다. 두 이차함수 $f \left( x \right)$, $g \left( x \right)$의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나므로 $g \left( 2 a \right) > f \left( a \right)$이다. 따라서 서로 다른 두 점에서 만나는 경우는 $a < 0$, $a = 0$, $a > 0$인 세 가지 경우로 나누어 생각할 수 있다. (다음 그림은 $a$의 부호에 따른 예이다.) (ⅰ) $a < 0$인 경우

$\left. \left( 2 a , g {\left( 2 a \right) )} \right. \right.$ $\left( \alpha , g {\left( \alpha {) {)}} \right.} \right.$ $\left( \beta , f {\left( \beta {) {)}} \right.} \right.$ $\left( a , f {\left( a {) {)}} \right.} \right.$ $y = f \left( x \right)$ $y = g \left( x \right)$

$f \left( \beta \right) - g \left( \alpha \right) = f \left( \beta \right) - f \left( \alpha \right) < g \left( 2 a \right) - f \left( a \right)$이다. (ⅱ) $a = 0$인 경우

$\left( \beta , f {\left( \beta {) {)}} \right.} \right.$ $y = f \left( x \right)$ $y = g \left( x \right)$ ${\left( 0 , f {\left( 0 {) {)}} \right.} \right.}$ ${\left( \alpha , g {\left( \alpha {) {)}} \right.} \right.}$ $\left( 0 , g {\left( 0 {) {)}} \right.} \right.$

$f {\left( \beta {) - g {\left( \alpha {) = f {\left( \beta {) - f {\left( \alpha {) < g {\left( 2 a {) - f {\left( a {)} \right.}} \right.}} \right.}} \right.}} \right.}} \right.}$이다. (ⅲ) $a > 0$인 경우

$y = f \left( x \right)$ $y = g \left( x \right)$ $\left( \alpha , g {\left( \alpha {) {)}} \right.} \right.$ $\left( a , f {\left( a {) {)}} \right.} \right.$ $\left( \beta , f {\left( \beta {) {)}} \right.} \right.$ $\left( 2 a , g {\left( 2 a {) )} \right.} \right.$

$f {\left( \beta {) - g {\left( \alpha {) = f {\left( \beta {) - f {\left( \alpha {) \leq g {\left( 2 a {) - f {\left( a {)} \right.}} \right.}} \right.}} \right.}} \right.}} \right.}$이다. 따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 주어진 부등식은 성립한다. (참) ㄷ. $g {\left( \beta {) = f {\left( \alpha {) + 5 a ^{2} + b} \right.}} \right.}$에서 $g \left( \beta \right) = f \left( \beta \right)$이므로 $f {\left( \beta {) - f {\left( \alpha {) = 5 a ^{2} + b} \right.}} \right.}$이다. $g {\left( 2 a {) - f {\left( a {) = 4 a ^{2} + b - {\left( - a ^{2} {) = 5 a ^{2} + b} \right.}} \right.}} \right.}$이므로 $f {\left( \beta {) - f {\left( \alpha {) = g {\left( 2 a {) - f {\left( a {)} \right.}} \right.}} \right.}} \right.}$ …① 이다. ①을 만족하기 위해서는 두 이차함수의 그래프의 교점은 두 이차함수의 그래프의 꼭짓점이어야 한다. (ⅰ) $a < 0$인 경우 ㄴ의 (ⅰ)에 의해 ①을 만족하지 않는다. (ⅱ) $a = 0$인 경우 ㄴ의 (ⅱ)에 의해 ①을 만족하지 않는다. (ⅲ) $a > 0$인 경우 $a > 0$이므로 $a < 2 a$가 된다. $\alpha = a$, $\beta = 2 a$이므로 $\beta - \alpha = 2 a - a = 2$이고 $a = 2$이다. 따라서 $f {\left( x {) = {\left( x - 2 {) ^{2} - 4} \right.}} \right.}$, $g {\left( x {) = \mathit{-} {\left( x - 4 {) ^{2} + b + 16} \right.}} \right.}$ 이다. 이차함수 $g {\left( x {)} \right.}$의 그래프가 이차함수 $f {\left( x {)} \right.}$의 그래프의 꼭짓점 ${\left( 2 , - 4 {)} \right.}$를 지나야 하므로 $- 4 = \mathit{-} {\left( - 2 {) ^{2} + b + 16} \right.}$이고 $b = \mathit{-} 16$이다.

$y = g \left( x \right)$ $y = f \left( x \right)$

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 $b = \mathit{-} 16$이다. (참) 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ은 모두 참이다. [다른 풀이] ㄱ. 방정식 $f \left( x \right) = g \left( x \right)$에서 $2 x ^{2} - 6 ax - b = 0$의 두 근이 $\alpha$, $\beta$이므로 $\alpha + \beta = 3 a$이고 $\displaystyle \alpha \beta = \mathit{-} \frac{b}{2}$이다. $\left( \beta - \alpha {) ^{2} = {\left( \alpha + \beta {) ^{2} - 4 \alpha \beta} \right.}} \right.$이므로 $\displaystyle 2 ^{2} = \left( 3 a {) ^{2} - 4 \times \left( - \frac{b}{2} \right)} \right.$, $9 a ^{2} + 2 b = 4$ …① $a = 1$을 ①에 대입하면 $9 + 2 b = 4$, $\displaystyle b = \mathit{-} \frac{5}{2}$이다. (참) ㄴ. $f ( x ) = {\left( x - a {) ^{2} - a ^{2}} \right.}$이므로 $f ( x )$의 최솟값은 $f \left( a \right) = \mathit{-} a ^{2}$이다. $g \left( x \right) = \mathit{-} \left( x - 2 a {) ^{2} + 4 a ^{2} + b} \right.$이므로 $g \left( x \right)$의 최댓값은 $g \left( 2 a \right) = 4 a ^{2} + b$이다. 따라서 $f \left( x \right) \geq \mathit{-} a ^{2} = f \left( a \right)$ … ① 이고 $g \left( x \right) \leq 4 a ^{2} + b$$= g \left( 2 a \right)$ … ② 이다. ①에서 $\left. - f {\left( \alpha \right) \leq \mathit{-} f \left( a \right)} \right.$ ②에서 $g {\left( \beta {) \leq g {\left( 2 a {)} \right.}} \right.}$이다. 그러므로 $f {\left( \beta {) - g {\left( \alpha {) = g {\left( \beta {) - f {\left( \alpha {) \leq g {\left( 2 a {) - f {\left( a {)} \right.}} \right.}} \right.}} \right.}} \right.}} \right.}$ 이다. (참) ㄷ. $g {\left( \beta {) = f {\left( \alpha {) + 5 a ^{2} + b} \right.}} \right.}$에서 $g {\left( \beta {) - f {\left( \alpha {) = 5 a ^{2} + b} \right.}} \right.}$이다. ㄴ에 의해 $g {\left( \beta {) - f {\left( \alpha {) = f {\left( \beta {) - g {\left( \alpha {) \leq g {\left( 2 a {) - f {\left( a {) = 5 a ^{2} + b} \right.}} \right.}} \right.}} \right.}} \right.}} \right.}$ 이므로 $\beta = 2 a$이고 $\alpha = a$이다. (나)에서 $\beta = \alpha + 2$이므로 $2 a = a + 2$, $a = 2$이다. ㄱ에서 $\displaystyle \alpha \beta = \mathit{-} \frac{b}{2}$이므로 $b = \mathit{-} 4 a ^{2}$이다. 따라서 $b = \mathit{-} 16$이다. (참)