두 이차다항식 나누어떨어짐

[출제의도] 인수정리를 이용하여 다항식 추론하기 (가)에서 $Q \left( x \right) = \mathit{-} 2 P \left( x \right)$이므로 $P \left( x \right) Q \left( x \right) = \mathit{-} 2 \left\{ P \left( x \right) \right\} ^{2}$이다. (나)에 의해 $- 2 \left\{ P \left( x \right) \right\} ^{2}$을 $x ^{2} - 3 x + 2$로 나누었을 때의 몫을 $A \left( x \right)$라 하면 $- 2 \left\{ P \left( x \right) \right\} ^{2} = \left( x ^{2} - 3 x + 2 {) A \left( x \right)} \right.$이고 $\displaystyle \left\{ P \left( x \right) \right\} ^{2} = \left( x - 1 {) {\left( x - 2 {) \left\{ - \frac{1}{2} A \left( x \right) \right\}} \right.}} \right.$이다. $P \left( x \right)$는 이차다항식이고 $\left\{ P \left( x \right) \right\} ^{2}$이 $x - 1$과 $x - 2$를 인수로 가지므로 $P \left( x \right)$도 $x - 1$과 $x - 2$를 인수로 가진다. 그러므로 $P \left( x \right) = a \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right)$, $Q \left( x \right) = \mathit{-} 2 a \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right)$ ($a \ne 0$인 실수)라 하자. $P \left( 0 \right) = 2 a = \mathit{-} 4$에서 $a = \mathit{-} 2$이므로 $P \left( x \right) = \mathit{-} 2 \left( x - 1 {) {\left( x - 2 {)} \right.}} \right.$, $Q \left( x \right) = 4 \left( x - 1 {) \left( x - 2 {)} \right.} \right.$ 이다. 따라서 $Q \left( 4 \right) = 4 \times 3 \times 2 = 24$이다.