공통수학1이차방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

두 이차방정식 근 관계

문제

$0$ 이 아닌 세 실수 $p$ , $q$ , $r$ 에 대하여 이차방정식 $x ^{2} + p x + q = 0$ 의 두 근을 $\alpha$ , $\beta$ 라 할 때, $x ^{2} + r x + p = 0$ 은 두 근 $2 \alpha$ , $2 \beta$ 를 갖는다. 이때, $\displaystyle \frac{r}{q}$ 의 값은? [3점] ① $6$ ② $\displaystyle \frac{1 3}{2}$ ③ $7$ ④ $\displaystyle \frac{1 5}{2}$ ⑤ $8$

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⑤

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해설

[출제의도] 이차방정식에서 근과 계수의 관계이해하기 $x ^{2} + p x + q = 0$ 의 두 근이 $\alpha$ , $\beta$ 이므로 근과 계수의 관계에 의하여 $\alpha + \beta = - p$ , $\alpha \beta = q$ $x ^{2} + r x + p = 0$ 의 두 근이 $2 \alpha$ , $2 \beta$ 이므로 근과 계수의 관계에 의하여 $2 \alpha + 2 \beta = 2 ( \alpha + \beta ) = - r$ , $( 2 \alpha ) ( 2 \beta ) = 4 \alpha \beta = p$ $\therefore$ $\displaystyle q = \frac{p}{4}$ , $r = 2 p$ 따라서 $\displaystyle \frac{r}{q} = 8$

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