두 휴게소 사이의 거리 구하기

실마리: 마을 $\mathrm{A}$를 원점, 도로를 $x$축으로 하는 좌표평면을 잡아 마을 $\mathrm{C}$의 좌표부터 정한다.

$\mathrm{A} ( 0 , 0 )$, $\mathrm{B} ( 25 , 0 )$으로 놓고 $\mathrm{C} ( p , q )$ ($q > 0$)라 하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{CA}} = 15$에서 $p ^{2} + q ^{2} = 225$ $\displaystyle \overline{\mathrm{CB}} = 20$에서 $( p - 25 ) ^{2} + q ^{2} = 400$ 두 식을 변끼리 빼면 $50 p - 625 = - 175$, $p = 9$ $q ^{2} = 225 - 81 = 144$, $q > 0$이므로 $q = 12$ 즉 $\mathrm{C} ( 9 , 12 )$

도로 위의 점 $( x , 0 )$과 $\mathrm{C} ( 9 , 12 )$ 사이의 거리가 $13$이므로 $( x - 9 ) ^{2} + 12 ^{2} = 13 ^{2}$ $( x - 9 ) ^{2} = 25$, $x - 9 = \pm 5$ $x = 4$ 또는 $x = 14$ 즉 $\mathrm{P} ( 4 , 0 )$, $\mathrm{Q} ( 14 , 0 )$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = 14 - 4 = 10$ (km)

(검산: 점 $\mathrm{C}$에서 도로에 내린 수선의 발은 $\mathrm{H} ( 9 , 0 )$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{CH}} = 12$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PH}} = \overline{\mathrm{QH}} = \sqrt{13 ^{2} - 12 ^{2}} = 5$, $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = 10$이다.)