공통수학1이차방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

두 허근의 관계

문제

이차방정식 x2−6x+k=0x ^{2} - 6 x + k = 0이 서로 다른 두 허근 α\alpha, β\beta를 가진다. αi+β=0\alpha i + \beta = 0일 때, 실수 kk의 값은? (단, i=−1\displaystyle i = \sqrt{- 1}) [3점] ①1616②1717③1818④1919⑤2020

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③

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해설

서로 다른 두 허근 α\alpha, β\beta에 대하여 α=p+qi\alpha = p + qi, β=p−qi(p,q\beta = p - qi \left( p , q \right.는 실수, q≠0)q \neq 0 )이라 하자. αi+β=(p−q)+(p−q)i=0\alpha i + \beta = \left( p - q \right) + \left( p - q \right) i = 0이므로 p=qp = q α=p+π\alpha = p + \pi, β=p−π\beta = p - \pi이므로 α+β=2p=6\alpha + \beta = 2 p = 6, p=3p = 3이고 αβ=(p+π)(p−π)=2p2=18\alpha \beta = \left( p + \pi \right) \left( p - \pi \right) = 2 p ^{2} = 18 따라서 k=αβ=18k = \alpha \beta = 18 [다른 풀이] 근과 계수의 관계에 의하여 α+β=6\alpha + \beta = 6, αβ=k\alpha \beta = k αi=−β\alpha i = - \beta의 양변을 제곱하면 −α2=β2- \alpha ^{2} = \beta ^{2}이므로 α2+β2=0\alpha ^{2} + \beta ^{2} = 0 α2+β2=(α+β)2−2αβ\alpha ^{2} + \beta ^{2} = \left( \alpha + \beta \right) ^{2} - 2 \alpha \beta이므로 36−2k=036 - 2 k = 0 따라서 k=18k = 18

태그

#허근#근과 계수의 관계

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