미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 함수의 최댓값 함수와 정적분

문제

두 함수 f(x)=−x2+4xf ( x ) = - x ^{2} + 4 x, g(x)=2x−ag ( x ) = 2 x - a에 대하여 함수 h(x)=12{f(x)+g(x)+∣f(x)−g(x)∣}\displaystyle h ( x ) = \frac{1}{2} \left\{ f ( x ) + g ( x ) + \left| f ( x ) - g ( x ) \right| \right\}가 극솟값 3을 가질 때, ∫04h(x)dx\displaystyle \int _{0} ^{4} {} h ( x ) dx의 값을 구하시오. (단, aa는 상수이다.) [4점]

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해설

h(x)=max⁡{f(x),g(x)}h ( x ) = \max \left\{ f ( x ) , g ( x ) \right\}이다 3이 극솟값이면 그림과 같이 직선 g(x)=2x−ag ( x ) = 2 x - a는 점 (3,3)( 3 , 3 )을 지난다 따라서 a=−3a = - 3 ∫04h(x)dx=∫03(−x2+4x)dx+∫34(2x−3)dx\displaystyle \int _{0} ^{4} {} h ( x ) dx = \int _{0} ^{3} {} ( - x ^{2} + 4 x ) dx + \int _{3} ^{4} {} ( 2 x - 3 ) dx =[−13x3+2x2]03+[x2−3x]34\displaystyle = \left[ - \frac{1}{3} x ^{3} + 2 x ^{2} \right] _{0} ^{3} + \left[ x ^{2} - 3 x \right] _{3} ^{4} =13= 13

태그

#최댓값함수#정적분

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