두 함수 정적분

$x ^{2} + 3 x = ( x ^{2} + 1 ) + ( 3 x - 1 )$ 이고 두 함수 $y = x ^{2} + 1$, $y = 3 x - 1$의 교점의 $x$좌표는 $x ^{2} + 1 = 3 x - 1$, $x ^{2} - 3 x + 2 = 0$, $( x - 1 ) ( x - 2 ) = 0$ $x = 1$ 또는 $x = 2$ 이므로 두 함수의 그래프는 그림과 같다.

즉, $x \leq 1$ 또는 $x \geq 2$일 때 $x ^{2} + 1 \geq 3 x - 1$ $1 < x < 2$일 때 $x ^{2} + 1 < 3 x - 1$ 이므로 조건 (가)를 만족시키는 함수 $f ( x )$, $g ( x )$는 각각 $\displaystyle f ( x ) = \begin{cases} x ^{2} + 1 & ( x \leq 1 ) \\ 3 x - 1 & ( 1 < x < 2 ) \\ x ^{2} + 1 & ( x \geq 2 ) \end{cases}$ $\displaystyle g ( x ) = \begin{cases} 3 x - 1 & ( x \leq 1 ) \\ x ^{2} + 1 & ( 1 < x < 2 ) \\ 3 x - 1 & ( x \geq 2 ) \end{cases}$ 따라서 $\displaystyle \int _{0} ^{2} {f ( x )} dx$$\displaystyle = \int _{0} ^{1} {( x ^{2} + 1 )} dx + \int _{1} ^{2} {( 3 x - 1 )} dx$ $\displaystyle = \left[ \frac{1}{3} x ^{3} + x \right] _{0} ^{1} + \left[ \frac{3}{2} x ^{2} - x \right] _{1} ^{2}$ $\displaystyle = \frac{4}{3} + \left( 4 - \frac{1}{2} \right)$$\displaystyle = \frac{29}{6}$