기하공간도형과 공간좌표수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 구와 정사영

문제

좌표공간에 두 개의 구 S1:x2+y2+(z−2)2=4S _{1} : x ^{2} + y ^{2} + ( z - 2 ) ^{2} = 4, S2:x2+y2+(z+7)2=49S _{2} : x ^{2} + y ^{2} + ( z + 7 ) ^{2} = 49 가 있다. 점 A(5,0,0)\displaystyle {\mathrm{A}} \mathit{(} \sqrt{5} , 0 , 0 )을 지나고 zxz x 평면에 수직이며, 구 S1S _{1} 과 zz 좌표가 양수인 한 점에서 접하는 평면을 α\alpha라 하자. 구 S2S _{2} 가 평면 α\alpha 와 만나서 생기는 원을 CC 라 할 때, 원 CC 위의 점 중 zz좌표가 최소인 점을 B{\mathrm{B}}라 하고 구 S2S _{2}와 점 B{\mathrm{B}}에서 접하는 평면을 β\beta라 하자. 원 CC 의 평면 β\beta 위로의 정사영의 넓이가 qpπ\displaystyle \frac{q}{p} \pi일 때, p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

점 (5,0,0)\displaystyle ( \sqrt{5} , 0 , 0 )을 지나고 zxzx평면에 수직인 평면과 구 S1S _{1}의 접점은 zxzx평면 위에 존재하므로 zxzx평면에 의한 단면을 보자. 구 S1S _{1}의 단면 C1C _{1}은 x2+(z−2)2=4x ^{2} + ( z - 2 ) ^{2} = 4 구 S2S _{2}의 단면 C2C _{2}는 x2+(z+7)2=49x ^{2} + ( z + 7 ) ^{2} = 49 점 (5,0,0)\displaystyle ( \sqrt{5} , 0 , 0 )을 지나는 구 S1S _{1}의 접평면과 zxzx평면의 교선 ll은 m(x−5)+z=0\displaystyle m ( x - \sqrt{5} ) + z = 0 이라 할 수 있다. 원 C1C _{1}과 직선 ll은 접하므로 ∣−5m+2∣m2+1=2\displaystyle \frac{\left| - \sqrt{5} m + 2 \right|}{\sqrt{m ^{2} + 1}} = 2 m=45\displaystyle m = 4 \sqrt{5} 따라서 직선 ll의 방정식은 45x+z−20=0\displaystyle 4 \sqrt{5} x + z - 20 = 0이므로 직선 ll과 원 C2C _{2}의 중심 사이의 거리는 2781=3\displaystyle \frac{27}{\sqrt{81}} = 3이다.

위 그림에서 단면인 원 CC의반지름의 길이는 210\displaystyle 2 \sqrt{10}이고 평면 α\alpha와 평면 β\beta가 이루는 각 θ\theta에 대하여 cos⁡θ=37\displaystyle \cos \theta = \frac{3}{7}이므로 원 CC의 평면 β\beta로의 정사영의 넓이는 π×(210)2×37=1207π\displaystyle \pi \times \left( 2 \sqrt{10} \right) ^{2} \times \frac{3}{7} = \frac{120}{7} \pi 따라서 p+q=7+120=127p + q = 7 + 120 = 127이다.

태그

#구#정사영

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