두 구의 교원과 사면체 부피 최대

$x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = 81 \cdots \cdots \text{㉠}$ $x ^{2} + ( y - 5 ) ^{2} + z ^{2} = 56 \cdots \cdots \text{㉡}$에서 $\text{㉠} - \text{㉡}$을 계산하여 정리하면 $y = 5$ 따라서 두 구가 만나는 원은 평면 $y = 5$ 위에 있다. 구의 방정식 ㉠에 $y = 5$를 대입하면 $x ^{2} + z ^{2} = 56 \cdots \cdots \text{㉢}$ 따라서 두 구가 만나서 생기는 원의 방정식은 $x ^{2} + z ^{2} = 56$, $y = 5$ 이 원 위의 점 $\mathrm{P} ( \mathit{x} , 0 , z )$의 $xy$평면 위로의 정사영은 $\mathrm{P}' ( \mathit{x} , 5 , 0 )$이고, 두 점 $Q , R$의 좌표는 각각 $( 0 , 9 , 0 ) ,$ $( 0 , - 9 , 0 )$ 이므로 삼각형 $Q P' R$의 넓이 $S$는 $\displaystyle S = \frac{1}{2} \cdot \overline{QR} \cdot | x | = 9 | x |$ 이 때, 사면체 $PQP' R$의 높이는 $| z |$이므로 이 사면체의 부피 $V$는 $\displaystyle V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot | z | = 3 | xz |$ 그런데, 산술평균과 기하평균의 대소 관계에 의해 $\displaystyle x ^{2} + z ^{2} = 56 \geq 2 \sqrt{x ^{2} z ^{2}} = 2 | xz |$이므로 $| xz | \leq 28$ $\therefore V = 3 | xz | \leq 3 \cdot 28 = 84$ 따라서 구하는 사면체의 부피의 최댓값은 $84$이다.