두 구에 접하는 평면

두 구 $S _{1}$과 $S _{2}$의 중심을 각각 $C _{1} , C _{2}$라 하자. 두 구의 중심 $C _{1} , C _{2}$와 점 $\mathrm{P}$를 지나는 평면으로 자른 단면을 그려보면 평면 $\alpha$는 반드시 점$( 0 , 0 , 1 )$을 지남을 알 수 있다. 원점 $\mathrm{O}$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $\mathrm{H}$는 점 $( 0 , 0 , 1 )$와 점 $\mathrm{P}$를 $3 : 1$로 내분하는 점이므로 $\displaystyle \vec{OH} = \frac{1}{4} \left( \frac{3}{2} , \frac{\sqrt{3}}{2} , 1 \right) = \frac{1}{8} \left( 3 , \sqrt{3} , 2 ) \right.$ $\displaystyle / / ( 3 , \sqrt{3} , 2 )$이다. 따라서 평면 $\alpha$의 법선벡터 ($\vec{n}$)를 $\displaystyle \vec{n} = ( 3 , \sqrt{3} , 2 )$로 잡을 수있고 평면 $\alpha$의 방정식을 $\displaystyle 3 x + \sqrt{3} y + 2 z + d = 0$로 설정할 수 있다. 여기에 평면 $\alpha$위의 점$( 0 , 0 , 1 )$을 대입하면 $d = - 2$임을 알 수 있다. 평면 $\alpha$의 방정식은 $\displaystyle 3 x + \sqrt{3} y + 2 z - 2 = 0$이다. 한편 $\displaystyle \mathrm{Q} ( \mathit{k} , - \sqrt{3} , 2 )$가 평면 $\alpha$위의 점이므로 대입하면 $\displaystyle k = \frac{1}{3}$이고 $120 k = 40$이다.