두 곡선의 교점 사이 넓이를 근과 계수의 관계로 구하기

교점을 확인하면 $x ^{3} + 4 x ^{2} - 6 x + 5 = x ^{3} + 5 x ^{2} - 9 x + 6$ $x ^{2} - 3 x + 1 = 0$ $( \beta - \alpha ) ^{2} = ( \beta + \alpha ) ^{2} - 4 \alpha \beta$$= 9 - 4 = 5$ $\therefore$ $\displaystyle \beta - \alpha = \sqrt{5}$ $x ^{2} = 3 x - 1$, $x ^{4} = ( 3 x - 1 ) ^{2} =$$9 x ^{2} - 6 x + 1$ $= 9 ( 3 x - 1 ) - 6 x + 1$$= 21 x - 8$ $x ^{6} = x ^{2} x ^{4} = ( 3 x - 1 ) ( 21 x - 8 )$$= 63 x ^{2} - 45 x + 8$ $= 63 ( 3 x - 1 ) - 45 x + 8$$= 144 x - 55$ 이므로 $\alpha ^{2} = 3 \alpha - 1$, $\alpha ^{4} = 21 \alpha - 8$, $\alpha ^{6} = 144 \alpha - 55$이다. $\beta$의 경우도 마찬가지이다. $\displaystyle S = \int _{\alpha} ^{\beta} ( 6 x ^{5} + 4 x ^{3} + 1 ) dx$$= \left[ x ^{6} + x ^{4} + x \right] _{\alpha} ^{\beta}$ $= ( \beta ^{6} - \alpha ^{6} ) + ( \beta ^{4} - \alpha ^{4} ) + ( \beta - \alpha )$$= 166 ( \beta - \alpha )$$\displaystyle = 166 \sqrt{5}$ $\therefore$ $a = 166$