미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 곡선의 공통접선과 접점 사이의 거리

문제

두 곡선 y=2x2+6,y=−x2y = 2 x ^{2} + 6 , y = - x ^{2}에 모두 접하고 기울기가 양수인 직선 ll이 있다. 직선 ll과 곡선 y=2x2+6y = 2 x ^{2} + 6의 접점을 P\mathrm{P}, 직선 ll과 곡선 y=−x2y = - x ^{2}의 접점을 Q\mathrm{Q}라 할 때, 선분 PQ\mathrm{PQ}의 길이는? [4점] ①231\displaystyle 2 \sqrt{31}②82\displaystyle 8 \sqrt{2}③1212④56\displaystyle 5 \sqrt{6}⑤317\displaystyle 3 \sqrt{17}

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해설

l:y=ax+bl : y = ax + b라 하자. ll이 두 곡선 y=2x2+6,y=−x2y = 2 x ^{2} + 6 , y = - x ^{2}에 접하므로 판별식을 이용하면, a2−48+8b=0,a2−4b=0a ^{2} - 48 + 8 b = 0 , a ^{2} - 4 b = 0이고 이를 풀면 a=4,b=4a = 4 , b = 4이다.(a>0)( a > 0 ) 따라서 직선이 y=4x+4y = 4 x + 4이고 두 곡선의 도함수가 y′=4x,y′=−2xy' = 4 x , y' = - 2 x이며 접선의 기울기가 44이므로 P(1,8),Q(−2,−4)P ( 1 , 8 ) , Q ( - 2 , - 4 )이다. 따라서 PQ=317\displaystyle PQ = 3 \sqrt{17}이다.

태그

#공통접선#접선의 방정식#두 점 사이의 거리

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