두 곡선을 잇는 선분 위의 격자점 개수의 합

점$\left( n , \log _{2} n \right)$과 점$\left( \log _{2} n , n \right)$을 잇는 선분의 기울기는 $- 1$이다. 점$( a , b )$가 기울기가 $- 1$인 직선위의 점일 때, 임의의 정수 $m$에 대하여 점 $( a - m , b + m )$도 동일한 직선위에 놓이게 된다. 따라서 $a$또는 $b$가 정수가 아니면 이 직선위의 점 중에는 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점이 존재하지 않는다. $\log _{2} n$은 자연수 $n$이 $n = 2 ^{k}$($k$는 음이 아닌 정수)꼴일 때, 정수가 되고 나머지 경우는 정수가 되지 못한다. 따라서 $n = 2 ^{k}$($k$는 음이 아닌 정수)꼴일 때, 점 $\left( n , \log _{2} n \right)$과 점 $\left( \log _{2} n , n \right)$을 잇는 선분위의 점 중 $x$좌표와 $y$좌표 모두 정수인 점이 존재하며 그 개수는 $n - \log _{2} n + 1 = 2 ^{k} - k + 1$이다. 즉, $n = 2 ^{k}$일 때, $a _{n} = 2 ^{k} - k + 1$이고 $n \ne 2 ^{k}$일 때, $a _{n} = 0$이다. ($k$는 음이 아닌 정수) $2 ^{10} < 2011 < 2 ^{11}$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{2011} a _{n}$$\displaystyle = \sum\limits _{k=0} ^{10} ( 2 ^{k} - k + 1 )$$\displaystyle = \sum\limits _{k=1} ^{11} ( 2 ^{k-1} - k + 2 )$$\displaystyle = \frac{2 ^{11} - 1}{2 - 1} - \frac{11 \cdot 12}{2} + 2 \cdot 11$$= 2003$