두 곡선 사이 넓이

두 곡선 $y = 3 x ^{3} - 7 x ^{2}$과 $y = - x ^{2}$을 연립하면 $x = 0$(중근) 또는 $x = 2$ 를 얻는다. 따라서 아래 그림으로부터 두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\displaystyle \int _{0} ^{2} {\left( - x ^{2} - 3 x ^{3} + 7 x ^{2} \right)} dx$$\displaystyle = \int _{0} ^{2} {\left( - 3 x ^{3} + 6 x ^{2} \right)} dx$ $\displaystyle = \left[ - \frac{3}{4} x ^{4} + 2 x ^{3} \right] _{0} ^{2}$ $= \left( - 12 \right) + 16 = 4$