두 곡선 사이 격자점

두 곡선 $\displaystyle y = 2 \sqrt{x}$, $\displaystyle y = - \sqrt{x} + 6$과 직선 $x = k$로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계에 포함되는 점 중 $x , y$좌표가 모두 정수인 점의 개수는

ⅰ) $\displaystyle 4 \leq x < \frac{25}{4}$일 때, $y = 4$이므로 $3 \times 1 = 3$ ⅱ) $\displaystyle \frac{25}{4} \leq x < 9$일 때, $y = 4 , 5$이므로 $2 \times 2 = 4$ ⅲ) $\displaystyle 9 \leq x < \frac{49}{4}$일 때, $y = 3 , 4 , 5 , 6$이므로 $4 \times 4 = 16$ ⅳ) $\displaystyle \frac{49}{4} \leq x < 16$일 때, $y = 3 , 4 , 5 , 6 , 7$이므로 $3 \times 5 = 15$ ⅴ) $\displaystyle 16 \leq x < \frac{81}{4}$일 때, $y = 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8$이므로 $5 \times 7 = 35$ ⅰ), ⅱ), ⅲ), ⅳ)에 의하여 $4 \leq x < 16$일 때, 점의 개수의 합이 $38$이고, ⅴ)에 의하여 $x = 16 , 17 , 18$일 때, 점의 개수의 합이 $21$이다. 따라서 조건을 만족시키는 점의 개수가 $59$가 되도록 하는 자연수 $k$의 값은 $18$