두 곡선 넓이

[출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기 $f \left( 1 \right) = g \left( 1 \right)$이고 $f \left( - 1 \right) = f \left( 1 \right) = 1$이므로 $f \left( - 1 \right) = g \left( - 1 \right) = 1$ 두 이차함수 $y = f \left( x \right)$, $y = g \left( x \right)$의 그래프가 만나는 두 점의 $x$좌표는 $- 1$, $1$이고 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{n} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left\{ f \left( \frac{k}{n} \right) - g \left( \frac{k}{n} \right) \right\}}$ $\displaystyle = \int _{0} ^{1} {\left\{ f \left( x \right) - g \left( x \right) \right\} dx} = 27$이므로 $- 1 \leq x \leq 1$에서 $f ( x ) \geq g ( x )$이다. 두 함수 $y = f \left( x \right)$, $y = g \left( x \right)$의 그래프가 $y$축 대칭이므로 함수 $y = f \left( x \right) - g \left( x \right)$의 그래프는 $y$축 대칭이다. 두 곡선 $y = f \left( x \right)$, $y = g \left( x \right)$로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\displaystyle \int _{- 1} ^{1} {\left| f \left( x \right) - g \left( x \right) \right| dx} = \int _{- 1} ^{1} {\left\{ f \left( x \right) - g \left( x \right) \right\} dx}$ $\displaystyle = 2 \int _{0} ^{1} {\left\{ f \left( x \right) - g \left( x \right) \right\} dx} = 54$ 따라서 구하는 넓이는 $54$