두 곡선 회전체 부피

$g' ( x ) = f' ( x ) = ax ^{2} - a$이고, $g ( 0 ) = a + 1$이므로 $\displaystyle g ( x ) = \frac{a}{3} x ^{3} - ax + a + 1$이다. 따라서, $y = g ( x )$의 그래프는 $y = f ( x )$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $1$만큼 평행이동한 것이므로 모든 실수 $x$에 대하여 $g ( x ) - f ( x ) = 1$이다. $f' ( x ) = a ( x + 1 ) ( x - 1 ) = 0$에서 $x = - 1 , 1$

따라서, $- 1 \leq x \leq 1$에서 $\displaystyle f ( x ) \geq \frac{a}{3} > 0$이다. 두 곡선 $y = f ( x ) , y = g ( x )$와 두 직선 $x = - 1 , x = 1$로 둘러싸인 부분을 $x$축 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피 $V$는 $\displaystyle V = \pi \int _{-1} ^{1} [ \left\{ f ( x ) \right\} ^{2} - \left\{ g ( x ) \right\} ^{2} ] dx$ $\displaystyle = \pi \int _{-1} ^{1} \left\{ f ( x ) - g ( x ) \right\} \left\{ f ( x ) + g ( x ) \right\} dx$ $\displaystyle = \pi \int _{-1} ^{1} \left( \frac{2}{3} a x ^{3} - 2 ax + 2 a + 1 \right) dx$ $\displaystyle = 2 \pi \int _{0} ^{1} ( 2 a + 1 ) dx$ $\displaystyle = 2 \pi \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} ( 2 a + 1 ) x \end{array} \right] _{0} ^{1}$ $= 2 ( 2 a + 1 ) \pi$ 따라서, $2 ( 2 a + 1 ) \pi = 50 \pi$에서 $2 a + 1 = 25$ ,∴ $a = 12$