두 그래프 사이 최소거리 d(f,g)의 성질

㉠ $f ( x ) = ax + b$, $g ( x ) = mx + n$ $a \ne m$이면 $y = f ( x )$, $y = g ( x )$의 그래프는 기울기가 다른 두 직선이므로 한 점에서 만난다. $\therefore d ( f , g ) = 0$ (참) ㉡ 【반례】 $f ( x ) = 1$, $g ( x ) = x$, $h ( x ) = - x$라 하면 $g ( x ) + h ( x ) = 0$이므로 직선 $y = f ( x )$와 직선 $y = g ( x ) + h ( x )$는 평행하고, 직선 $y = f ( x )$와 직선 $y = g ( x )$, 직선 $y = f ( x )$와 직선 $y = h ( x )$는 각각 한 점에서 만난다. 즉, $d ( f , g + h ) = 1$, $d ( f , g ) = 0$, $d ( f , h ) = 0$이므로 $d ( f , g + h ) > d ( f , g ) + d ( f , h )$ (거짓) ㉢ 【반례】 $f ( x ) = x + 2$, $g ( x ) = x$, $h ( x ) = 1$이라 하면 $d ( f , h ) = 0$이므로 $d ( f , g ) \cdot d ( f , h ) = 0$이고, $g ( x ) h ( x ) = x$이므로 그래프는 직선 $y = f ( x )$와 평행하다. 이때, $\displaystyle d ( f , gh ) = \sqrt{2}$이므로 $d ( f , gh ) > d ( f , g ) \cdot d ( f , h )$ (거짓) 따라서 옳은 것은 ㉠이다.