미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 근의 거듭제곱 급수

문제

이차방정식 9x2−6x−1=09 x ^{2} - 6 x - 1 = 0의 두 근을 α,β\alpha , \beta라 할 때, 1β−α∑n=1∞(βn−αn)=qp\displaystyle \frac{1}{\beta - \alpha} \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} ( \beta ^{n} - \alpha ^{n} ) = \frac{q}{p} 이다. 이때, p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

정답 보기
11

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

9x2−6x−1=09 x ^{2} - 6 x - 1 = 0의 두 근은 x=1±23\displaystyle x = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{3}이고 ∣α∣<1\displaystyle \begin{vmatrix} \alpha \end{vmatrix} < 1, ∣β∣<1\displaystyle \begin{vmatrix} \beta \end{vmatrix} < 1이므로 ∑n=1∞αn,∑n=1∞βn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \alpha ^{n} , \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \beta ^{n}은 수렴한다. 근과 계수와의 관계에서 α+β=23,αβ=−19\displaystyle \alpha + \beta = \frac{2}{3} , \alpha \beta = - \frac{1}{9}이므로 1β−α∑n=1∞(βn−αn)=1β−α(β1−β−α1−α)=92\displaystyle \frac{1}{\beta - \alpha} \sum\limits _{n=1} ^{\infty} ( \beta ^{n} - \alpha ^{n} ) = \frac{1}{\beta - \alpha} \left( \frac{\beta}{1 - \beta} - \frac{\alpha}{1 - \alpha} \right) = \frac{9}{2} ∴\therefore p+q=2+9=11p + q = 2 + 9 = 11

태그

#무한등비급수#근과 계수의 관계

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 급수 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로