두 근의 차 순서쌍

[출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 문제 해결하기 근과 계수의 관계에 의해 $\alpha + \beta = \mathit{-} 2 a$, $\alpha \beta = \mathit{-} b$이므로 $\left( \alpha - \beta \right) ^{2} = \left( \alpha + \beta \right) ^{2} - 4 \alpha \beta$$= \left( - 2 a \right) ^{2} + 4 b$$= 4 a ^{2} + 4 b$ $\displaystyle \left| \alpha - \beta \right| = 2 \sqrt{a ^{2} + b} < 12$($a$, $b$는 자연수)이므로 $a ^{2} + b < 36$이다. $a = 1$일 때, $b < 35$이므로 순서쌍 $\left( a , b \right)$는 $\left( 1 , 1 \right)$, $\left( 1 , 2 \right)$, $\cdots$ , $\left( 1 , 34 \right)$로 개수는 $34$이다. $a = 2$일 때, $b < 32$이므로 순서쌍 $\left( a , b \right)$는 $\left( 2 , 1 \right)$, $\left( 2 , 2 \right)$, $\cdots$ , $\left( 2 , 31 \right)$로 개수는 $31$이다. $a = 3$일 때, $b < 27$이므로 순서쌍 $\left( a , b \right)$는 $\left( 3 , 1 \right)$, $\left( 3 , 2 \right)$, $\cdots$ , $\left( 3 , 26 \right)$으로 개수는 $26$이다. $a = 4$일 때, $b < 20$이므로 순서쌍 $\left( a , b \right)$는 $\left( 4 , 1 \right)$, $\left( 4 , 2 \right)$, $\cdots$ , $\left( 4 , 19 \right)$로 개수는 $19$이다. $a = 5$일 때, $b < 11$이므로 순서쌍 $\left( a , b \right)$는 $\left( 5 , 1 \right)$, $\left( 5 , 2 \right)$, $\cdots$ , $\left( 5 , 10 \right)$으로 개수는 $10$이다. 따라서 구하는 순서쌍 $\left( a , b \right)$의 총 개수는 $34 + 31 + 26 + 19 + 10 = 120$이다.