두 근 sin t, cos t

$\displaystyle \frac{\pi}{2} < t < \pi$인 실수 $t$에 대하여 이차방정식 $5 x ^{2} + x + k = 0$이 두 실근 $\sin t$, $\cos t$를 가지므로 $\displaystyle \sin t + \cos t = - \frac{1}{5}$, $\displaystyle \sin t \cos t = \frac{k}{5}$이다. $\displaystyle \left( \sin t + \cos t \right) ^{2} = \frac{1}{25}$ $\displaystyle \sin ^{2} t + 2 \sin t \cos t + \cos ^{2} t = \frac{1}{25}$ 이고 $\sin ^{2} t + \cos ^{2} t = 1$이므로 $\displaystyle \sin t \cos t = - \frac{12}{25}$이다. $\displaystyle \frac{k}{5} = - \frac{12}{25}$에서 $\displaystyle k = - \frac{12}{5}$이다. $\displaystyle \frac{\pi}{2} < t < \pi$에서 $\sin t > 0$, $\cos t < 0$이므로 이차방정식 $\displaystyle 5 x ^{2} + x - \frac{12}{5} = 0$, $25 x ^{2} + 5 x - 12 = 0$, $\left( 5 x - 3 \right) \left( 5 x + 4 \right) = 0$ 의 두 실근은 $\displaystyle \sin t = \frac{3}{5}$, $\displaystyle \cos t = - \frac{4}{5}$이다. $\displaystyle \tan t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{3}{5} \times \left( - \frac{5}{4} \right) = - \frac{3}{4}$이다. 따라서 $\displaystyle k \times \tan t = \left( - \frac{12}{5} \right) \times \left( - \frac{3}{4} \right) = \frac{9}{5}$이다.