두 근 조건 삼차식

[출제의도] 방정식의 근을 이용하여 실수 $a$의 값을 구한다. $f ( a ) = 0$, $f ( a + 3 ) = 0$이므로 $a$와 $a + 3$은 삼차방정식 $f ( x ) = 0$의 근이다. 조립제법을 이용하여 $f ( x )$를 인수분해하면

$f ( x ) = ( x - a ) ( x ^{2} - 4 x - 5 )$$= ( x - a ) ( x + 1 ) ( x - 5 ) = 0$ $x = a$ 또는 $x = - 1$ 또는 $x = 5$ $f ( a + 3 ) = 0$에서 $a + 3 = - 1$ 또는 $a + 3 = 5$ $a = - 4$ 또는 $a = 2$ 따라서 실수 $a$의 값의 합은 $( - 4 ) + 2 = - 2$ [다른 풀이] $f ( a + 3 )$$= ( a + 3 ) ^{3} - ( a + 4 ) ( a + 3 ) ^{2} + ( 4 a - 5 ) ( a + 3 ) + 5 a$ $= 3 a ^{2} + 6 a - 24$ $f ( a + 3 ) = 0$에서 $a ^{2} + 2 a - 8 = 0$ $( a + 4 ) ( a - 2 ) = 0$ ∴ $a = - 4$ 또는 $a = 2$ $a = - 4$일 때 $f ( - 4 ) = 0$ $a = 2$일 때 $f ( 2 ) = 0$ 이므로 $a = - 4$, $a = 2$는 조건을 만족시킨다. 따라서 실수 $a$의 값의 합은 $( - 4 ) + 2 = - 2$