미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 근 차의 급수

문제

자연수 nn에 대하여 xx에 관한 이차방정식 (4n2−1)x2−4nx+1=0( 4 n ^{2} - 1 ) x ^{2} - 4 nx + 1 = 0의 두 근이 αn,βn\alpha _{n} , \beta _{n} (αn>βn\alpha _{n} > \beta _{n})일 때, ∑n=1∞(αn−βn)\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \left( \alpha _{n} - \beta _{n} \right)의 값은? [3점] ①11②22③33④44⑤55

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①

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해설

(4n2−1)x2−4nx+1=0( 4 n ^{2} - 1 ) x ^{2} - 4 nx + 1 = 0 {(2n−1)x−1}{(2n+1)x−1}=0\left\{ ( 2 n - 1 ) x - 1 \right\} \left\{ ( 2 n + 1 ) x - 1 \right\} = 0 x=12n−1\displaystyle x = \frac{1}{2 n - 1}, 12n+1\displaystyle \frac{1}{2 n + 1} αn>βn\alpha _{n} > \beta _{n}이고 nn이 자연수이므로 αn=12n−1\displaystyle \alpha _{n} = \frac{1}{2 n - 1}, βn=12n+1\displaystyle \beta _{n} = \frac{1}{2 n + 1} ∴∑n=1∞(αn−βn)=∑n=1∞(12n−1−12n+1)\displaystyle \therefore \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} ( \alpha _{n} - \beta _{n} ) = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1} \right) =lim⁡n→∞{(11−13)+(13−15)+(15−17)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left\{ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) \right.+⋯+(12n−1−12n+1)}\displaystyle + \cdots + \left( \frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1} \right) \} =lim⁡n→∞(1−12n+1)=1\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( 1 - \frac{1}{2 n + 1} \right) = 1 <다른 풀이> (αn−βn)2=(αn+βn)2−4αnβn( \alpha _{n} - \beta _{n} ) ^{2} = ( \alpha _{n} + \beta _{n} ) ^{2} - 4 \alpha _{n} \beta _{n} αn+βn=4n4n2−1\displaystyle \alpha _{n} + \beta _{n} = \frac{4 n}{4 n ^{2} - 1}, αnβn=14n2−1\displaystyle \alpha _{n} \beta _{n} = \frac{1}{4 n ^{2} - 1}이므로 (αn−βn)2=(4n4n2−1)2−4×14n2−1\displaystyle ( \alpha _{n} - \beta _{n} ) ^{2} = \left( \frac{4 n}{4 n ^{2} - 1} \right) ^{2} - 4 \times \frac{1}{4 n ^{2} - 1}=(44n2−1)2\displaystyle = \left( \frac{4}{4 n ^{2} - 1} \right) ^{2} αn−βn=24n2−1\displaystyle \alpha _{n} - \beta _{n} = \frac{2}{4 n ^{2} - 1} (∵αn>βn)( \because \alpha _{n} > \beta _{n} ) =2(2n−1)(2n+1)\displaystyle = \frac{2}{( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 )}=12n−1−12n+1\displaystyle = \frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1} ∴∑n=1∞(αn−βn)=∑n=1∞(12n−1−12n+1)\displaystyle \therefore \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} ( \alpha _{n} - \beta _{n} ) = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1} \right) =lim⁡n→∞{(11−13)+(13−15)+(15−17)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left\{ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) \right.+⋯+(12n−1−12n+1)}\displaystyle + \cdots + \left( \frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1} \right) \} =lim⁡n→∞(1−12n+1)=1\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( 1 - \frac{1}{2 n + 1} \right) = 1

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#무한급수#부분분수

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