두 갈래 점화식

조건 (나)에서 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle \left( a _{n+1} - a _{n} + \frac{2}{3} k \right) \left( a _{n+1} + k a _{n} \right) = 0$ 이므로 $\displaystyle a _{n+1} - a _{n} = - \frac{2}{3} k$ 또는 $a _{n+1} = - ka _{n}$ $a _{1} = k$이고 $a _{2} \times a _{3} < 0$이므로 $a _{2} = - k ^{2}$이면 $a _{3} = k ^{3}$이어야 하고, $\displaystyle a _{2} = \frac{k}{3}$이면 $\displaystyle a _{3} = - \frac{k ^{2}}{3}$ 또는 $\displaystyle a _{3} = - \frac{k}{3}$이다. 따라서 이를 표로 나타내면 다음과 같다.

(ⅰ) $a _{4} = - k ^{4}$일 때 $a _{5} = k ^{5}$ 또는 $\displaystyle a _{5} = - k ^{4} - \frac{2}{3} k$이므로 $a _{5} = 0$을 만족시키는 $k$는 존재하지 않는다. (ⅱ) $\displaystyle a _{4} = k ^{3} - \frac{2}{3} k$일 때 (a) $\displaystyle a _{5} = \left( k ^{3} - \frac{2}{3} k \right) \times \left( - k \right)$인 경우 $\displaystyle - k ^{2} \left( k ^{2} - \frac{2}{3} \right) = 0$ $\therefore$ $\displaystyle k ^{2} = \frac{2}{3}$ (b) $\displaystyle a _{5} = \left( k ^{3} - \frac{2}{3} k \right) - \frac{2}{3} k$인 경우 $\displaystyle k ^{3} - \frac{4}{3} k = 0$ $\therefore$ $\displaystyle k ^{2} = \frac{4}{3}$ (ⅲ) $\displaystyle a _{4} = \frac{k ^{3}}{3}$일 때 $\displaystyle \frac{k ^{3}}{3} - \frac{2}{3} k = 0$ $\therefore$ $k ^{2} = {2}$ (ⅳ) $\displaystyle a _{4} = - \frac{k ^{2}}{3} - \frac{2}{3} k$일 때 $a _{5} = 0$을 만족시키는 $k$는 존재하지 않는다. (ⅴ) $\displaystyle a _{4} = \frac{k ^{2}}{3}$일 때 $\displaystyle \frac{k ^{2}}{3} - \frac{2}{3} k = 0$ $\therefore$ $k ^{2} = 4$ (ⅵ) $a _{4} = - k$인 경우 $a _{5} = 0$을 만족시키는 $k$는 존재하지 않는다. 이상에서 조건을 만족시키는 모든 양수 $k$에 대하여 $k ^{2}$의 값의 합은 $\displaystyle \frac{2}{3} + \frac{4}{3} + 2 + 4 = 8$