두 등차수열의 합

[출제의도] 등차수열을 이용하여 추론하기 두 등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$, $\left\{ b _{n} \right\}$의 공차를 각각 $d$, $d'$이라 하자. 조건 (나)에 의하여 $a _{m + 1} - b _{m + 1}$$= \left( a _{m} + d \right) - \left( b _{m} + d' \right)$$= d - d' < 0$ $a _{m} - b _{m}$$= \left\{ a _{1} + \left( m - 1 \right) d \right\} - \left\{ b _{1} + \left( m - 1 \right) d' \right\}$ $= \left( a _{1} - b _{1} \right) + \left( m - 1 \right) \left( d - d' \right) = 0$ 에서 $a _{1} - b _{1} = \left( m - 1 \right) \left( d' - d \right)$이고, $m - 1 > 0$, $d' - d > 0$이므로 $a _{1} - b _{1} > 0$ 그러므로 조건 (가)에서 $a _{1} - b _{1} = 5$ $\left( m - 1 \right) \left( d' - d \right) = 5$ $m - 1$, $d' - d$가 모두 자연수이고 $m \geq 3$이므로 $m = 6$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m} b _{k}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{6} b _{k}$ $\displaystyle = \frac{6 \times \left( b _{1} + b _{6} \right)}{2}$ $\displaystyle = \frac{6 \left\{ \left( a _{1} - 5 \right) + a _{6} \right\}}{2}$ $\displaystyle = \frac{6 \left( a _{1} + a _{6} \right)}{2} - 15$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{6} a _{k} - 15 = 9 - 15 = - 6$