두 등차수열 공통항

[출제의도] 서로 다른 두 등차수열에서 공통으로 나타나는 수의 개수를 구한다. $\left\{ a _{n} \right\}$: $4$, $7$, $10$, $13$, $16$, $19$, $22$, $25$, $\cdots$ $\left\{ b _{n} \right\}$은 첫째항이 $100$이고 공차가 $- 5$인 등차수열이므로 $5$의 배수이다. 그런데, 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$과 $\left\{ b _{n} \right\}$에 공통으로 들어 있는 수는 양의 정수이다. 수열 $\left\{ b _{n} \right\}$의 양인 항들을 작은 수부터 나열한 것을 $\left\{ c _{n} \right\}$이라 하면 $\left\{ c _{n} \right\}$: $5$, $10$, $15$, $20$, $25$, $\cdots$ , $100$ 그러므로 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$과 $\left\{ c _{n} \right\}$의 공통항을 나열하면 $10$, $25$, $\cdots$ , $100$ 즉, 공통항은 첫째항이 $10$이고 공차가 $15$인 등차수열이다. 따라서 공통항으로 이루어진 수열의 일반항은 $10 + 15 ( n - 1 ) = 15 n - 5$ $l$번째 항이 마지막 항이라고 하면 $l$은 $15 l - 5 \leq 100$을 만족하는 최대의 정수이다. $15 l - 5 \leq 100$ $15 l \leq 105$ $l \leq 7$ 따라서 구하는 수의 개수는 $7$이다. [다른풀이] $\left\{ a _{n} \right\}$은 첫째항이 $4$, 공차가 $3$이므로 $a _{n} = 4 + 3 ( n - 1 ) = 3 n + 1$ $\left\{ b _{n} \right\}$은 첫째항이 $100$, 공차가 $- 5$이므로 $b _{n} = 100 - 5 ( n - 1 ) = - 5 n + 105$ $a _{l} = b _{m}$이므로 $3 l + 1 = - 5 m + 105$ 양변에 $5$를 더하면 $3 l + 6 = - 5 m + 110$ $3 ( l + 2 ) = 5 ( - m + 22 )$ $3$과 $5$가 서로 소이므로 $l + 2$는 $5$의 배수이다. $l + 2 = 5 k$($k$는 자연수) $a _{l} = 3 ( 5 k - 2 ) + 1 = 15 k - 5$이므로 $4 \leq 15 k - 5 \leq 100$ $\displaystyle \frac{3}{5} \leq k \leq 7$ 따라서 구하는 수의 개수는 $7$이다.