대수등차수열과 등비수열수능 기출기본 문제 (3점 중반)

두 등비수열 곱

문제

일반항이 an=3pn−1a _{n} = 3 p ^{n - 1}, bn=−3qn−1b _{n} = - 3 q ^{n-1}인 두 수열 {an},{bn}\{ a _{n} \} , \{ b _{n} \}에 대하여 cn=an⋅bnc _{n} = a _{n} \cdot b _{n}인 수열 {cn}\{ c _{n} \}이 있다. c5=42c3\displaystyle c _{5} = 4 \sqrt{2} c _{3}이고 c9=kc5c _{9} = k c _{5}일 때, 상수 kk의 값을 구하시오. (단, pq≠0pq \ne 0) [3점]

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해설

[출제의도] 등비수열의 공비구하기 cn=(3pn−1)⋅(−3qn−1)=−9(pq)n−1c _{n} = ( 3 p ^{n-1} ) \cdot ( - 3 q ^{n-1} ) = - 9 ( pq ) ^{n-1}이므로 {cn}\{ c _{n} \}은 첫째항이 −9- 9이고 공비가 pqpq인 등비수열이다. c5=42c3\displaystyle c _{5} = 4 \sqrt{2} c _{3}이므로 −9(pq)4=42(−9)(pq)2\displaystyle - 9 ( pq ) ^{4} = 4 \sqrt{2} ( - 9 ) ( pq ) ^{2}이다. (pq)2( pq ) ^{2}=42\displaystyle = 4 \sqrt{2} ∴(pq)4=(42)2=32\displaystyle \therefore ( pq ) ^{4} = ( 4 \sqrt{2} ) ^{2} = 32

태그

#등비수열#공비

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