두 등비수열 보기

[출제의도] 무한등비수열의 수렴과 발산 추론하기 수열 $\{ a _{n} \}$의 첫째항을 $a$, 공비가 $r _{1}$, 수열 $\{ b _{n} \}$의 첫째항을 $b$, 공비가 $r _{2}$라 하면 $a _{n} = ar _{1} ^{n - 1}$, $b _{n} = br _{2} ^{n - 1}$이고 주어진 조건에 의하여 $a \ne 0$, $b \ne 0$, $r _{1}$, $r _{2}$는 $1$이 아닌 양수 ㄱ. (반례)$a _{n} = 2 ^{n - 1}$, $b _{n} = 3 ^{n - 1}$ $a _{n} + b _{n} = 2 ^{n - 1} + 3 ^{n - 1}$은 등비수열이 아니다. (거짓) ㄴ. $a _{n + 1} b _{n + 1} = a _{n} b _{n}$이므로 $ar _{1} ^{n} \cdot br _{2} ^{n} = ar _{1} ^{n - 1} \cdot br _{2} ^{n - 1}$ $\therefore r _{1} \cdot r _{2} = 1$ 수열 $\{ a _{n} \}$이 발산하면 $r _{1} > 1$이므로 $0 < r _{2} < 1$ $\therefore$수열 $\{ b _{n} \}$은 수렴한다. (참) ㄷ. 수열 $\{ a _{n} \}$, $\{ b _{n} \}$이 모두 수렴하므로 $0 < r _{1} < 1$, $0 < r _{2} < 1$ 수열 $\{ a _{n} b _{n} \}$의 공비는 $r _{1} r _{2}$이고, $0 < r _{1} r _{2} < 1$이므로 무한급수 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} b _{n}$도 수렴한다. (참)