대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 등비수열 보기

문제

두 등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}의 공비가 각각 33, 12\displaystyle \frac{1}{2}일 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고르면? (단, a1b1≠0a _{1} b _{1} \ne 0) [3점]

보 기
ㄱ. 수열 {anbn}\displaystyle \left\{ \frac{a _{n}}{b _{n}} \right\}은 공비가 66인 등비수열이다. ㄴ. 수열 {an+6bn}\left\{ a _{n} + 6 b _{n} \right\}은 공비가 33인 등비수열이다. ㄷ. 수열 {an+1−2an}\left\{ a _{n + 1} - 2 a _{n} \right\}은 공비가 33인 등비수열이다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

[출제의도] 등비수열의 성질 추론하기 수열{an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}의 첫째항을 각각 a1,b1a _{1} , b _{1}라 하면 an=a1⋅3n−1a _{n} = a _{1} \cdot 3 ^{n-1}, bn=b1⋅(12)n−1\displaystyle b _{n} = b _{1} \cdot \left( \frac{1}{2} \right) ^{n-1}이다. ㄱ. anbn=a1⋅3n−1b1⋅(12)n−1=a1b1⋅6n−1\displaystyle \frac{a _{n}}{b _{n}} = \frac{a _{1} \cdot 3 ^{n-1}}{b _{1} \cdot \left( \frac{1}{2} \right) ^{n-1}} = \frac{a _{1}}{b _{1}} \cdot 6 ^{n-1} (참) ㄴ. (반례) an=3n−1a _{n} = 3 ^{n-1}, bn=(12)n−1\displaystyle b _{n} = \left( \frac{1}{2} \right) ^{n-1}이라 하면, 수열 {an+6bn}\left\{ a _{n} + 6 b _{n} \right\}의 첫째항은 77, 제22항은 66, 제33항은 212\displaystyle \frac{21}{2}, ⋯\cdots은 등비수열이 아니다. (거짓) ㄷ. an+1−2an=a1⋅3n−2a1⋅3n−1a _{n + 1} - 2 a _{n} = a _{1} \cdot 3 ^{n} - 2 a _{1} \cdot 3 ^{n - 1}=a1⋅3n−1(3−2)= a _{1} \cdot 3 ^{n-1} ( 3 - 2 ) =a1⋅3n−1= a _{1} \cdot 3 ^{n-1} (참)

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