두 대각선으로 두 변의 제곱의 합

평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로 두 대각선의 교점을 $\mathrm{O}$ 라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AO}} = \frac{1}{2} \overline{\mathrm{AC}} = 4$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BO}} = \frac{1}{2} \overline{\mathrm{BD}} = 3$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 에서 점 $\mathrm{O}$ 는 변 $\mathrm{AC}$ 의 중점이므로 선분 $\mathrm{BO}$ 는 중선이다. 중선정리에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} ^{2} + \overline{\mathrm{BC}} ^{2} = 2 \overline{\mathrm{BO}} ^{2} + 2 \overline{\mathrm{AO}} ^{2}$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} ^{2} + \overline{\mathrm{BC}} ^{2} = 2 \times 9 + 2 \times 16 = 50$