두 축과 직선에 접하는 원

[출제의도] 원과 직선의 위치 관계를 활용하여 문제 해결하기

$3 x - 4 y + 12 = 0$

원의 중심을 $\left( a , a \right)$라 하면 점 $\left( a , a \right)$와 직선 $3 x - 4 y + 12 = 0$ 사이의 거리는 반지름의 길이 $\left| a \right|$와 같으므로 $\displaystyle \frac{\left| 3 a - 4 a + 12 \right|}{\sqrt{3 ^{2} + \left( - 4 \right) ^{2}}} = \left| a \right|$ $\left| - a + 12 \right| = 5 \left| a \right|$ 양변을 제곱하여 정리하면 $a ^{2} + a - 6 = 0$ $a = - 3$ 또는 $a = 2$ 제$1$사분면 위의 점을 $\mathrm{A}$, 제$3$사분면 위의 점을 $\mathrm{B}$라 하면 $\mathrm{A} {\mathit{\left( 2 , 2 \right)}}$, $\mathrm{B} {\mathit{\left( - 3 , - 3 \right)}}$ 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} = \left\{ 2 - \left( - 3 \right) \right\} ^{2} + \left\{ 2 - \left( - 3 \right) \right\} ^{2} = 50$