두 축과 한 직선에 접하는 두 원

두 원은 모두 두 축과 직선 $l$에 접하므로 작은 원은 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 내접원, 큰 원은 직선 $l$ 너머의 방접원이다. 두 원이 함께 만족하는 접선 조건을 반지름에 관한 이차방정식으로 보는 것이 실마리다. $\mathrm{P} ( p , 0 )$, $\mathrm{Q} ( 0 , q )$ ($p > 0$, $q > 0$)라 하면 직선 $l$의 방정식은 $qx + py - pq = 0$ $x$축과 $y$축에 동시에 접하고 중심이 제$1$사분면 위에 있는 원의 중심은 $( r , r )$, 반지름의 길이는 $r$이다. 이 원이 직선 $l$에 접하므로 $\displaystyle \frac{\left| qr + pr - pq \right|}{\sqrt{p ^{2} + q ^{2}}} = r$ 양변을 제곱하여 정리하면 $( p + q ) ^{2} r ^{2} - 2 pq ( p + q ) r + p ^{2} q ^{2} = ( p ^{2} + q ^{2} ) r ^{2}$ $2 pqr ^{2} - 2 pq ( p + q ) r + p ^{2} q ^{2} = 0$ $pq \ne 0$이므로 양변을 $pq$로 나누면 $2 r ^{2} - 2 ( p + q ) r + pq = 0$ 두 원 $C _{1}$, $C _{2}$의 반지름의 길이 $r _{1}$, $r _{2}$는 이 이차방정식의 서로 다른 두 근이므로 근과 계수의 관계에서 $r _{1} + r _{2} = p + q$, $\displaystyle r _{1} r _{2} = \frac{pq}{2}$ $r _{1} + r _{2} = 14$이므로 $p + q = 14$ 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 넓이가 $24$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} pq = 24$, $pq = 48$ $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} ^{2} = p ^{2} + q ^{2} = ( p + q ) ^{2} - 2 pq = 196 - 96 = 100$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = \mathit{10}$ (확인) $p + q = 14$, $pq = 48$에서 $p = 6$, $q = 8$ 또는 $p = 8$, $q = 6$이고, 이때 두 원의 반지름의 길이는 $r ^{2} - 14 r + 24 = 0$의 두 근 $2$, $12$이다. 직각삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 내접원의 반지름 $\displaystyle \frac{6 + 8 - 10}{2} = 2$, 방접원의 반지름 $\displaystyle \frac{6 + 8 + 10}{2} = 12$와 일치한다.