공통수학2평면좌표AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 축을 거치는 경로의 최소 길이

문제

그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 A(4,2)\mathrm{A} ( 4 , 2 ), B(2,6)\mathrm{B} ( 2 , 6 ) 과 xx축 위를 움직이는 점 P\mathrm{P}, yy축 위를 움직이는 점 Q\mathrm{Q} 가 있다. AP‾+PQ‾+QB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{QB}} 의 최솟값을 구하시오. [3점]

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해설

점 A\mathrm{A} 를 xx축에 대하여 대칭이동한 점을 A′\mathrm{A}', 점 B\mathrm{B} 를 yy축에 대하여 대칭이동한 점을 B′\mathrm{B}' 이라 하면 A′(4,−2)\mathrm{A}' ( 4 , - 2 ), B′(−2,6)\mathrm{B}' ( - 2 , 6 ) 이고 AP‾=A′P‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{A}' P}, QB‾=QB′‾\displaystyle \overline{\mathrm{QB}} = \overline{\mathrm{QB}'} AP‾+PQ‾+QB‾=A′P‾+PQ‾+QB′‾≥A′B′‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{QB}} = \overline{\mathrm{A}' P} + \overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{QB}'} \geq \overline{\mathrm{A}' B'} 이고 등호는 두 점 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q} 가 모두 선분 A′B′\mathrm{A}' B' 위에 있을 때 성립한다. 직선 A′B′\mathrm{A}' B' 의 기울기는 6+2−2−4=−43\displaystyle \frac{6 + 2}{- 2 - 4} = - \frac{4}{3} 이므로 y+2=−43(x−4)\displaystyle y + 2 = - \frac{4}{3} ( x - 4 ) y=0y = 0 에서 x=52\displaystyle x = \frac{5}{2}, x=0x = 0 에서 y=103\displaystyle y = \frac{10}{3} 이므로 선분 A′B′\mathrm{A}' B' 은 xx축, yy축과 차례로 만나 등호가 성립하는 점 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q} 가 있다. A′B′‾=(−2−4)2+(6+2)2=36+64=10\displaystyle \overline{\mathrm{A}' B'} = \sqrt{( - 2 - 4 ) ^{2} + ( 6 + 2 ) ^{2}} = \sqrt{36 + 64} = 10 따라서 최솟값은 1010이다.

태그

#거리의 합의 최소#대칭점#경로의 최소

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