두 축에 접하는 원 극한

[출제의도] 수열의 극한을 이용하여 도형 문제 해결하기 $x$축, $y$축에 동시에 접하고 원의 중심이 직선 $y = x$ 위에 있는 두 원의 반지름의 길이를 각각 $a$, $b$라 하면 두 원의 방정식은 $\left( x - a \right) ^{2} + \left( y - a \right) ^{2} = a ^{2}$, $\left( x + b \right) ^{2} + \left( y + b \right) ^{2} = b ^{2}$ 이다. 두 원의 중심 $\left( a , a \right)$, $\left( - b , - b \right)$에서 직선 $3 x - 4 y + 4 ^{n} = 0$까지의 거리가 각각 $a$, $b$이므로 $\displaystyle a = \frac{\left| 3 a - 4 a + 4 ^{n} \right|}{\sqrt{3 ^{2} + 4 ^{2}}}$$\displaystyle = \frac{\left| - a + 4 ^{n} \right|}{5}$ $\displaystyle a = \frac{4 ^{n}}{6}$, $\displaystyle - \frac{4 ^{n}}{4}$ $\displaystyle \therefore a = \frac{4 ^{n}}{6}$$\left( \because a > 0 \right)$ $\displaystyle b = \frac{\left| - 3 b + 4 b + 4 ^{n} \right|}{\sqrt{3 ^{2} + 4 ^{2}}}$ $\displaystyle = \frac{\left| b + 4 ^{n} \right|}{5}$ $\displaystyle b = \frac{4 ^{n}}{4}$, $\displaystyle - \frac{4 ^{n}}{6}$ $\displaystyle \therefore b = \frac{4 ^{n}}{4}$$\left( \because b > 0 \right)$ 이다. 두 원의 반지름의 길이는 각각 $\displaystyle \frac{4 ^{n}}{6}$, $\displaystyle \frac{4 ^{n}}{4}$이므로 $\displaystyle a _{n} = \frac{4 ^{n}}{6} + \frac{4 ^{n}}{4} = \frac{5 \times 4 ^{n}}{12}$이다. 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n}}{4 ^{n} + 1}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\frac{5 \times 4 ^{n}}{12}}{4 ^{n} + 1}} = \frac{5}{12}$이다.