두 축에 접하는 원 개수

[출제의도] 지수함수의 그래프에서 조건을 만족하는 원의 개수를 추론한다. 반지름의 길이가 $r$이고 $x$축, $y$축에 모두 접하는 원의 중심의 좌표는 $( r , r )$, $( r , - r )$, $( - r , r )$, $( - r , - r )$ 꼴이므로 원의 중심이 직선 $y = x$ 또는 $y = - x$ 위에 있다. 그러므로 원의 중심이 곡선 $y = 2 ^{x} + n$ 위에 있고 $x$축, $y$축에 모두 접하는 원의 개수는 곡선 $y = 2 ^{x} + n$과 직선 $y = x$ 또는 $y = - x$의 교점 중 원점이 아닌 점의 개수와 같다. (ⅰ) $n = - 2$일 때, 곡선 $y = 2 ^{x} - 2$는 직선 $y = x$와 원점이 아닌 서로 다른 두 점에서 만나고, 직선 $y = - x$와 원점이 아닌 한 점에서 만난다. ∴ $f ( - 2 ) = 2 + 1 = 3$

(ⅱ) $n = 0$일 때, 곡선 $y = 2 ^{x}$은 직선 $y = x$와 만나지 않고, 직선 $y = - x$와 원점이 아닌 한 점에서 만난다. ∴ $f ( 0 ) = 1$

(ⅲ) $n = 2$일 때, 곡선 $y = 2 ^{x} + 2$는 직선 $y = x$와 만나지 않고, 직선 $y = - x$와 원점이 아닌 한 점에서 만난다. ∴ $f ( 2 ) = 1$

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 $f ( - 2 ) + f ( 0 ) + f ( 2 )$$= 3 + 1 + 1 = 5$