두 축 위의 꼭짓점을 가진 사각형의 둘레의 최소

사각형 $\mathrm{APBQ}$ 의 둘레의 길이는 $\displaystyle ( \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PB}} ) + ( \overline{\mathrm{BQ}} + \overline{\mathrm{QA}} )$ 이므로 두 부분을 따로 최소로 만든다. 점 $\mathrm{A}$ 를 $x$축에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{A}'$ 이라 하면 $\mathrm{A}' ( 1 , - 1 )$ 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PB}} = \overline{\mathrm{A}' P} + \overline{\mathrm{PB}} \geq \overline{\mathrm{A}' B} = \sqrt{( 7 - 1 ) ^{2} + ( 7 + 1 ) ^{2}} = 10$ 등호는 점 $\mathrm{P}$ 가 선분 $\mathrm{A}' B$ 와 $x$축의 교점일 때 성립한다. 점 $\mathrm{B}$ 를 $y$축에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{B}'$ 이라 하면 $\mathrm{B}' ( - 7 , 7 )$ 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{BQ}} + \overline{\mathrm{QA}} = \overline{\mathrm{B}' Q} + \overline{\mathrm{QA}} \geq \overline{\mathrm{B}' A} = \sqrt{( 1 + 7 ) ^{2} + ( 1 - 7 ) ^{2}} = 10$ 등호는 점 $\mathrm{Q}$ 가 선분 $\mathrm{B}' A$ 와 $y$축의 교점일 때 성립한다. 두 등호 조건은 각각 점 $\mathrm{P}$, 점 $\mathrm{Q}$ 만 정하므로 동시에 성립할 수 있다. 직선 $\mathrm{A}' B$ 는 $\displaystyle y + 1 = \frac{4}{3} ( x - 1 )$ 에서 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{7}{4} , 0 \right)$, 직선 $\mathrm{B}' A$ 는 $\displaystyle y - 7 = - \frac{3}{4} ( x + 7 )$ 에서 $\displaystyle \mathrm{Q} \left( 0 , \frac{7}{4} \right)$ 따라서 둘레의 길이의 최솟값은 $10 + 10 = 20$