두 축 위의 점으로 만드는 평행사변형

선분 $\mathrm{AB}$ 가 평행사변형의 대각선인 경우와 변인 경우로 나누어, 두 대각선의 중점이 일치함을 이용한다. $\mathrm{P} ( s , 0 )$, $\mathrm{Q} ( 0 , t )$ 라 하자. (ⅰ) $\mathrm{AB}$, $\mathrm{PQ}$ 가 대각선인 경우 $\displaystyle \frac{1 + 5}{2} = \frac{s + 0}{2}$, $\displaystyle \frac{3 + 1}{2} = \frac{0 + t}{2}$ 에서 $s = 6$, $t = 4$ 두 대각선의 교점은 선분 $\mathrm{AB}$ 의 중점 $( 3 , 2 )$ (ⅱ) $\mathrm{AP}$, $\mathrm{BQ}$ 가 대각선인 경우 $\displaystyle \frac{1 + s}{2} = \frac{5 + 0}{2}$, $\displaystyle \frac{3 + 0}{2} = \frac{1 + t}{2}$ 에서 $s = 4$, $t = 2$ 두 대각선의 교점은 선분 $\mathrm{AP}$ 의 중점 $\displaystyle \left( \frac{5}{2} , \frac{3}{2} \right)$ (ⅲ) $\mathrm{AQ}$, $\mathrm{BP}$ 가 대각선인 경우 $\displaystyle \frac{1 + 0}{2} = \frac{5 + s}{2}$, $\displaystyle \frac{3 + t}{2} = \frac{1 + 0}{2}$ 에서 $s = - 4$, $t = - 2$ 두 대각선의 교점은 선분 $\mathrm{AQ}$ 의 중점 $\displaystyle \left( \frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right)$ 세 경우 모두 네 점 중 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않으므로 평행사변형이 만들어진다. 따라서 구하는 합은 $\displaystyle 3 + \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = 6$