공통수학2평면좌표AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 변의 길이의 비가 주어진 직각삼각형

문제

그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 A(−5,0)\mathrm{A} ( - 5 , 0 ), B(5,0)\mathrm{B} ( 5 , 0 ) 과 점 C(a,b)\mathrm{C} ( a , b ) 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC\mathrm{ABC} 는 C\mathrm{C} 가 직각인 직각삼각형이고 CA‾=2CB‾\displaystyle \overline{\mathrm{CA}} = 2 \overline{\mathrm{CB}} 이다. b>0b > 0 일 때, a+ba + b 의 값을 구하시오. [4점]

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해설

C\mathrm{C} 가 직각이므로 CA‾2+CB‾2=AB‾2=100\displaystyle \overline{\mathrm{CA}} ^{2} + \overline{\mathrm{CB}} ^{2} = \overline{\mathrm{AB}} ^{2} = 100 CA‾=2CB‾\displaystyle \overline{\mathrm{CA}} = 2 \overline{\mathrm{CB}} 에서 CA‾2=4CB‾2\displaystyle \overline{\mathrm{CA}} ^{2} = 4 \overline{\mathrm{CB}} ^{2} 이므로 5CB‾2=100\displaystyle 5 \overline{\mathrm{CB}} ^{2} = 100, CB‾2=20\displaystyle \overline{\mathrm{CB}} ^{2} = 20, CA‾2=80\displaystyle \overline{\mathrm{CA}} ^{2} = 80 CA‾2=(a+5)2+b2=80\displaystyle \overline{\mathrm{CA}} ^{2} = ( a + 5 ) ^{2} + b ^{2} = 80 ㉠ CB‾2=(a−5)2+b2=20\displaystyle \overline{\mathrm{CB}} ^{2} = ( a - 5 ) ^{2} + b ^{2} = 20 ㉡ ㉠에서 ㉡을 빼면 (a+5)2−(a−5)2=60( a + 5 ) ^{2} - ( a - 5 ) ^{2} = 60 20a=6020 a = 60 에서 a=3a = 3 ㉡에 대입하면 4+b2=204 + b ^{2} = 20, b2=16b ^{2} = 16 b>0b > 0 이므로 b=4b = 4 따라서 C(3,4)\mathrm{C} ( 3 , 4 ) 이고 a+b=7a + b = 7

태그

#삼각형의 모양 판별#직각삼각형#길이의 비

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