공통수학2도형의 이동AI기본 문제 (3점 중반)

두 벽에 튕겨 맞히는 최단 경로

문제

그림과 같이 두 벽을 각각 xx축, yy축으로 하는 좌표평면 위의 점 A(6,2)\mathrm{A} ( 6 , 2 )에 있는 공을 쳐서 xx축 위의 점 P\mathrm{P}, yy축 위의 점 Q\mathrm{Q}에 차례로 튕긴 후 점 B(2,4)\mathrm{B} ( 2 , 4 )에 있는 공에 맞히려고 한다. 공이 움직인 거리 AP‾+PQ‾+QB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{QB}}의 최솟값을 구하시오. (단, 공의 크기는 무시한다.) [3점]

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해설

점 A\mathrm{A}를 xx축에 대하여 대칭이동한 점을 A′\mathrm{A}', 점 B\mathrm{B}를 yy축에 대하여 대칭이동한 점을 B′\mathrm{B}'이라 하면 A′(6,−2)\mathrm{A}' ( 6 , - 2 ), B′(−2,4)\mathrm{B}' ( - 2 , 4 ) AP‾=A′P‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{A}' P}, QB‾=QB′‾\displaystyle \overline{\mathrm{QB}} = \overline{\mathrm{QB}'}이므로 AP‾+PQ‾+QB‾=A′P‾+PQ‾+QB′‾≥A′B′‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{QB}} = \overline{\mathrm{A}' P} + \overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{QB}'} \geq \overline{\mathrm{A}' B'} 등호는 두 점 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}가 모두 선분 A′B′\mathrm{A}' B' 위에 있을 때 성립하고, 이때 P(103,0)\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{10}{3} , 0 \right), Q(0,52)\displaystyle \mathrm{Q} \left( 0 , \frac{5}{2} \right)이다. 따라서 구하는 최솟값은 A′B′‾=(−2−6)2+(4+2)2=100=10\displaystyle \overline{\mathrm{A}' B'} = \sqrt{( - 2 - 6 ) ^{2} + ( 4 + 2 ) ^{2}} = \sqrt{100} = 10

태그

#대칭이동#최단거리#실생활#당구

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