공통수학1연립일차부등식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 분수 사이의 분수

문제

부등식 14<nm<27\displaystyle \frac{1}{4} < \frac{n}{m} < \frac{2}{7}를 만족시키는 분수 nm\displaystyle \frac{n}{m} (단, m,nm , n은 서로소인 자연수) 에 대하여, mm이 최소일 때 m+nm + n의 값을 구하시오. [4점]

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14

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해설

[출제의도] 부등식을 만족하는 정수 추론하기 00과 11사이에 분모가 mm인 분수는 1m,2m,3m,⋯ ,m−1m\displaystyle \frac{1}{m} , \frac{2}{m} , \frac{3}{m} , \cdots , \frac{m - 1}{m}이다. 따라서 14<1m<27→72<m<4\displaystyle \frac{1}{4} < \frac{1}{m} < \frac{2}{7} \rightarrow \frac{7}{2} < m < 4 이 경우 만족하는 자연수 mm은 없다. 14<2m<27→7<m<8\displaystyle \frac{1}{4} < \frac{2}{m} < \frac{2}{7} \rightarrow 7 < m < 8 이 경우 만족하는 자연수 mm은 없다. 14<3m<27→212<m<12\displaystyle \frac{1}{4} < \frac{3}{m} < \frac{2}{7} \rightarrow \frac{21}{2} < m < 12에서 m=11m = 11이다. 범위가 증가하므로 mm은 점점 커진다. 따라서 최소인 것은 m=11m = 11이고 이때, n=3n = 3이다. ∴ m+n=14m + n = 14

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#부등식#분수

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