확률과 통계확률분포수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 번째 흰 공 번호 기댓값

문제

서로 같은 흰 공 44개와 서로 같은 검은 공 33개가 들어 있는 주머니에서 임의로 공을 한 개씩 모두 꺼낼 때, 꺼낸 순서대로 11부터 77까지의 번호를 부여한다. 44개의 흰 공에 부여된 번호 중 두 번째로 작은 번호를 확률변수 XX라 할 때, 다음은 E(X)\mathrm{E} \mathit{(} X )를 구하는 과정이다.

공에 번호를 부여하는 모든 경우의 수를 NN이라 하면 NN은 서로 같은 흰 공 44개와 서로 같은 검은 공 33개를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 N=□(가)N = {\square {( \text{가} )}}이고, 확률변수 XX가 가질 수 있는 값은 22, 33, 44, 55이다. (ⅰ) X=2X = 2일 때, 번호 22가 부여된 흰 공 앞에 흰 공 11개, 번호 22가 부여된 흰 공 뒤에 흰 공 22개와 검은 공 33개를 나열하는 경우의 수는 1×5!2!×3!\displaystyle 1 \times \frac{5 !}{2 ! \times 3 !}이므로 P(X=2)=10N\displaystyle \mathrm{P} \mathit{(} X = 2 ) = \frac{10}{N} (ⅱ) X=3X = 3일 때, 번호 33이 부여된 흰 공 앞에 흰 공 11개와 검은 공 11개, 번호 33이 부여된 흰 공 뒤에 흰 공 22개와 검은 공 22개를 나열하는 경우의 수는 2!×4!2!×2!\displaystyle 2 ! \times \frac{4 !}{2 ! \times 2 !}이므로 P(X=3)=12N\displaystyle \mathrm{P} \mathit{(} X = 3 ) = \frac{12}{N} (ⅲ) X=4X = 4일 때, 번호 44가 부여된 흰 공 앞에 흰 공 11개와 검은 공 22개, 번호 44가 부여된 흰 공 뒤에 흰 공 22개와 검은 공 11개를 나열하는 경우의 수는 □(나){\square {( \text{나} )}}이므로 P(X=4)=□(나)N\displaystyle \mathrm{P} \mathit{(} X = 4 ) = \frac{{\square {( \text{나} )}}}{N} (ⅳ) X=5X = 5일 때, 확률질량함수의 성질에 의하여 P(X=5)=1−{P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)}\mathrm{P} \mathit{(} X = 5 ) = 1 - \left\{ \mathrm{P} \mathit{(} X = 2 ) + \mathrm{P} \mathit{(} X = 3 ) + \mathrm{P} \mathit{(} X = 4 ) \right\} 따라서 E(X)=∑k=25{k×P(X=k)}=□(다)\displaystyle \mathrm{E} \mathit{(} X ) = \sum\limits _{k = 2} ^{5} \left\{ k \times \mathrm{P} \mathit{(} X = k ) \right\} = {\square {( \text{다} )}}

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 aa, bb, cc라 할 때, a+b+5ca + b + 5 c의 값은? [4점]

①5656②5858③6060④6262⑤6464

정답 보기
③

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 확률변수의 평균을 구하는 과정 추론하기 공에 번호를 부여하는 모든 경우의 수를 NN이라 하면 NN은 서로 같은 흰 공 44개와 서로 같은 검은 공 33개를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 N=□35N = {\square {35}}이고, 확률변수 XX가 가질 수 있는 값은 22, 33, 44, 55이다. (ⅰ) X=2X = 2일 때, 번호 22가 부여된 흰 공 앞에 흰 공 11개, 번호 22가 부여된 흰 공 뒤에 흰 공 22개와 검은 공 33개를 나열하는 경우의 수는 1×5!2!×3!\displaystyle 1 \times \frac{5 !}{2 ! \times 3 !}이므로 P(X=2)=10N\displaystyle \mathrm{P} \mathit{(} X = 2 ) = \frac{10}{N} (ⅱ) X=3X = 3일 때, 번호 33이 부여된 흰 공 앞에 흰 공 11개와 검은 공 11개, 번호 33이 부여된 흰 공 뒤에 흰 공 22개와 검은 공 22개를 나열하는 경우의 수는 2!×4!2!×2!\displaystyle 2 ! \times \frac{4 !}{2 ! \times 2 !}이므로 P(X=3)=12N\displaystyle \mathrm{P} \mathit{(} X = 3 ) = \frac{12}{N} (ⅲ) X=4X = 4일 때, 번호 44가 부여된 흰 공 앞에 흰 공 11개와 검은 공 22개, 번호 44가 부여된 흰 공 뒤에 흰 공 22개와 검은 공 11개를 나열하는 경우의 수는 □9\square {9}이므로 P(X=4)=□9N\displaystyle \mathrm{P} \mathit{(} X = 4 ) = \frac{\square {9}}{N} (ⅳ) X=5X = 5일 때, 확률질량함수의 성질에 의하여 P(X=5)=1−{P(X=2)\mathrm{P} \mathit{(} X = 5 ) = 1 - \left\{ \mathrm{P} \mathit{(} X = 2 ) \right.+P(X=3)+P(X=4)}+ \mathrm{P} \mathit{(} X = 3 ) + \mathrm{P} \mathit{(} X = 4 ) \} 따라서 E(X)=∑k=25{k×P(X=k)}=□165\displaystyle \mathrm{E} \mathit{(} X ) = \sum\limits _{k = 2} ^{5} \left\{ k \times \mathrm{P} \mathit{(} X = k ) \right\} = {\square {\frac{16}{5}}} a=7!4!×3!=35\displaystyle a = \frac{7 !}{4 ! \times 3 !} = 35, b=3!2!×3!2!=9\displaystyle b = \frac{3 !}{2 !} \times \frac{3 !}{2 !} = 9 확률변수 XX의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

XX22334455합계
P(X=x){\mathrm{P}} ( X = x )1035\displaystyle \frac{10}{35}1235\displaystyle \frac{12}{35}935\displaystyle \frac{9}{35}435\displaystyle \frac{4}{35}11

c=2×1035+3×1235+4×935+5×435=165\displaystyle c = 2 \times \frac{10}{35} + 3 \times \frac{12}{35} + 4 \times \frac{9}{35} + 5 \times \frac{4}{35} = \frac{16}{5} 따라서 a+b+5c=60a + b + 5 c = 60

태그

#빈칸 추론#기댓값#같은 것이 있는 순열

비슷한 문제 더 보기

확률과 통계 문제 모음확률과 통계 확률분포 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로