미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

동심원과 덧셈정리

문제

점 O\mathrm{O}를 중심으로 하고 반지름의 길이가 각각 11, 2\displaystyle \sqrt{2}인 두 원 C1C _{1}, C2C _{2}가 있다. 원 C1C _{1} 위의 두 점 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}와 원 C2C _{2} 위의 점 R\mathrm{R}에 대하여 ∠QOP=α\angle \mathrm{QOP} \mathit{=} \alpha, ∠ROQ=β\angle {\mathrm{R} OQ} = \beta라 하자. OQ‾⊥QR‾\displaystyle \mathrm{\overline{OQ}} \perp \overline{QR}이고 sin⁡α=45\displaystyle \sin \alpha = \frac{4}{5}일 때, cos⁡(α+β)\cos \left( \alpha + \beta ) \right.의 값은? (단, 0<α<π2\displaystyle 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}, 0<β<π2\displaystyle 0 < \beta < \frac{\pi}{2}) [3점] ①−610\displaystyle - \frac{\sqrt{6}}{10}②−510\displaystyle - \frac{\sqrt{5}}{10}③−15\displaystyle - \frac{1}{5}④−310\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{10}⑤−210\displaystyle - \frac{\sqrt{2}}{10}

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⑤

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해설

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이해하고 도형의 성질을 이용하여 삼각함수의 값을 구한다.

sin⁡α=45\displaystyle \sin \alpha = \frac{4}{5}, sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin ^{2} \alpha + \cos ^{2} \alpha = 1이고 0<α<π2\displaystyle 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}이므로 cos⁡α=35\displaystyle \cos \alpha = \frac{3}{5} 삼각형 ROQ\mathrm{ROQ}에 대하여 OR‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{OR}} = \sqrt{2}, OQ‾=1\displaystyle \mathrm{\overline{OQ}} = 1, ∠OQR=π2\displaystyle \mathrm{\angle} OQR = \frac{\mathit{\pi}}{2}이므로 β=π4\displaystyle \beta = \frac{\mathit{\pi}}{4} 그러므로 sin⁡β=22\displaystyle \sin \beta = \frac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡β=22\displaystyle \cos \beta = \frac{\sqrt{2}}{2} 따라서 cos⁡(α+β)\cos ( \alpha + \beta )=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta =35×22−45×22\displaystyle = \frac{3}{5} \times \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{4}{5} \times \frac{\sqrt{2}}{2} =−210\displaystyle = \mathit{-} \frac{\sqrt{2}}{10}

태그

#덧셈정리#원

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